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\author{Margarita Manterola \\ Padrón 77091}
\title{Análisis de Circuitos \\ Trabajo Práctico Final}
\date{Agosto 2004}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{}{\thesection\ \ #1}}
\lhead{}
\chead{}
\rhead{\rightmark}
\lfoot{}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage}


\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Filtro pedido}

En el enunciado del trabajo práctico se solicita diseñar un filtro que
tenga un cero simple en $\omega=-100$ y otro cero simple en $\omega=-10000$,
un polo simple en $\omega=-5000$ y dos polos complejos conjugados con
$\omega=1000$ y $Q_P = 12dB$.

El módulo de la transferencia, cuando $\omega=0$ es de $2dB$. \\

Se trata de un filtro pasa banda, con dos ceros y tres polos.

\section{Análisis de la transferencia}

Teniendo en cuenta los datos proporcionados en el enunciado, la
transferencia del circuito cuando $\omega = 0$ es 
\begin{equation}
\left| T(s) \right| = 2 db
\end{equation}
De manera que, este valor se puede convertir a $\left|T(s)\right| = 10^{2/20} \approx 1.26$. \\

Por otro lado, el factor $Q_P$ que determina los polos complejos del circuito está dado por:
\begin{equation}
Q_P = 12 db
\end{equation}
De manera que, este valor se puede convertir a $Q_P = 10^{12/20} \approx
3.981$. \\

Teniendo en cuenta los ceros y los polos proporcionados en el enunciado, y
los datos recién obtenidos, la transferencia será de la forma:

\begin{equation}
\label{transf_pedida}
T(s) = 1.26 \frac{ \left( \frac{s}{100} + 1 \right)
              \left( \frac{s}{10000} + 1 \right)}
{ \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)
         \left( \frac{s}{5000} + 1 \right)}
\end{equation}

Para la construcción del filtro solicitado, se dividirá esta transferencia
en dos subfiltros, que luego se unirán en uno solo:

\begin{equation}
T(s) = 1.26 
        \frac{\left( \frac{s}{10000} + 1 \right)}
       {\left( \frac{s}{5000} + 1 \right)}
       \frac{ \left( \frac{s}{100} + 1 \right)}
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

\subsection{Filtro pasabajos sencillo}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{rc.tex}
\caption{\label{pasabanda}Filtro pasabajos utilizado}
\end{figure}

La transferencia del circuito representado en la Figura \ref{pasabanda} es:

\begin{eqnarray}
T(s)&=&\frac{1/SC + R_2}{R_1 + R_2 + 1/SC} \\
T(s)&=&\frac{1 + R_2 S C}{R_1SC + R_2SC + 1} \\
T(s)&=&\frac{CR_2 S + 1}{C(R_1+ R_2)S + 1} 
\end{eqnarray}

Otorgando los valores de $100 nF$ al capacitor, y $1 k\Omega$ a los
resistores se obtiene la transferencia buscada:

\begin{equation}
T(s)=\frac{\frac{S}{10000} + 1}{\frac{S}{5000} + 1} 
\end{equation}

\subsection{Filtro de segundo orden}

Para la segunda parte, es necesario desarrollar un filtro de segundo orden que cumpla con 
la siguiente ecuación.
\begin{equation}
T(s) = \frac{ \left( \frac{s}{100} + 1 \right)}
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

\subsubsection{Filtro pasabajos de segundo orden}
Para ello, se dividirá esta ecuación nuevamente en dós términos.  El primero, dado por la 
siguiente ecuación:
\begin{equation}
T(s) = \frac{ 1 }
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{pasabajos_sk.tex}
\caption{\label{fig_pasabajos_sk}Filtro pasabajos Sallen y Key}
\end{figure}

Se trata de un pasabajos de segundo orden, que puede modelizarse fácilmente a través de un 
{\it Pasabajos Sallen y Key}, como el de la Figura \ref{fig_pasabajos_sk}. \\

Los polos de este filtro pueden calcularse según los valores que se le den a los resistores y 
capacitores.  

Si se toma $R_1=R_3=R$ y $C_2=C_4=C$, se puede llegar a que:
\begin{eqnarray}
\omega &=& 1/RC \\
1/Q &=& 3 -K 
\end{eqnarray}

De manera que, para el filtro buscado, se debe cumplir que $RC = 1/1000$ y $K=3 - 1/Q$.
$K$ queda determinado, y es $K \approx 2.75$.  Los valores para $R$ y para $C$ se pueden elegir 
según sea conveniente, en este caso se elige $10k\Omega$ y $100 nF$ respectivamente.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{ampl_k.tex}
\caption{\label{fig_ampl_k}Amplificador de coeficiente $K$}
\end{figure}

Para armar el ampliflicador $K$ se utiliza un filtro como el de la Figura \ref{fig_ampl_k}, en el que 
la salida está dada por la siguiente ecuación:

\begin{equation}
v_o = \left( \frac{R_1}{R_2} + 1 \right) v_i
\end{equation}
De manera que para obtener $K=2.75$, se pueden elegir valores como $R_1=1750 \Omega$ y $R_2=1 k\Omega$. \\

La salida del circuito armado con los valores especificados será:
\begin{equation}
T(s) = \frac{ 2.75 }
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

Para obtener la salida deseada, se puede utilizar un simple divisor resistivo como el de la Figura \ref{fig_div_resistivo}, donde la salida está dada por $v_o = \frac{R_2}{R_1+R_2}v_i$
De manera que se podrían elegir los valores de $R_1=1750\Omega$ y $R_2=1k\Omega$ para obtener una salida 
sin amplificar. 

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{divisor_tension.tex}
\caption{\label{fig_div_resistivo}Divisor resistivo}
\end{figure}

\subsubsection{Filtro pasabanda de segundo orden}

Para la segunda parte de la ecuación, se debe encontrar un circuito que satisfaga la ecuación:
\begin{equation}
T(s) = \frac{ s/100 }
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{pasabanda_sk.tex}
\caption{\label{fig_pasabanda_sk}Filtro pasabanda Sallen y Key}
\end{figure}

Esto se puede lograr utilizando un filtro {\it Pasabanda Sallen y Key} como el mostrado en la figura \ref{fig_pasabanda_sk}.

En este caso, si se toma $R_1=R_2=R_4=R$ y $C_5=C_3=C$, se puede llegar a que:
\begin{eqnarray}
\omega &=& \sqrt{2}/RC \\
1/Q&=&4-K/\sqrt{2}
\end{eqnarray} 

De manera que es necesario encontrar valores para $R$ y $C$ tal que $RC = \sqrt{2}/1000$ 
y $K$ queda determinado como $K = 4 - \sqrt{2}/3.981 = 3.65$.  Los valores de $R$ y $C$ se pueden 
elegir como $R \approx 1414 \Omega$ y $C=1 \mu F$.

En este caso, la salida obtenida para el circuito será equivalente a:
\begin{equation}
T(s) = \frac{ s/388 }
       { \left( \left(\frac{s}{1000}\right)^2 + \frac{s}{3981} + 1 \right)}
\end{equation}

Es decir, que es necesario amplificar la salida por un factor de $3.88$ para que sea la indicada en 
la ecuación de transferencia.  En lugar de efectuar esta amplificación directamente, es posible efectuarla
junto con la suma de la salida del circuito pasabajos.  Para esto, se atenuará la salida del circuito pasabajos de manera que ambas salidas entren con el mismo factor de atenuación al circuito sumador. \\

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{sumador.tex}
\caption{\label{fig_sumador}Circuito Sumador}
\end{figure}

La suma de estos dos filtros de segundo orden se realiza utilizando un sumador como el de la Figura \ref{fig_sumador}. Cuya salida está dada por la siguiente ecuación:
\begin{equation}
v_0 = \frac{R_3 + R_4}{R_4} \left( \frac{v_1 R_2}{R_1 + R_2} + \frac{v_2 R_1}{R_1 + R_2} \right)
\end{equation} 

Si se toma $R_1 = R_2$, la ecuación se simplifica:
\begin{equation}
v_0 = \frac{R_3 + R_4}{2 R_4} \left( v_1 + v_2 \right)
\end{equation} 

De manera que es posible determinar los valores de $R_3$ y $R_4$ para obtener la salida amplificada tanto como se desee.  En este caso, se debe amplificar la salida por un factor de $3.88$ para obtener la transferencia planteada al comienzo de esta sección.  Pero es necesario amplificarla por un factor adicional de $1.26$, para obtener la transferencia pedida por el enunciado del problema.  El factor total de amplificación es entonces de $4.89$.

Los valores para los resistores podrían ser, por ejemplo, de $R_3 = 8780 \Omega$ y $R_4 = 1 k\Omega$.

\newpage
\subsection{Filtro completo}

\begin{figure}[hbp]
\centering
\includegraphics{circuito.eps}
\caption{\label{fig_circuito_completo}Circuito Completo}
\end{figure}

Componiendo los filtros diseñados se puede llegar a un filtro cuya salida sea la pedida, como el que se 
muestra en la Figura \ref{fig_circuito_completo}, que fue generada por el programa de simulación de circuitos {\bf Oregano}. \\

Los valores dados para algunas de los resistores en el diagrama no corresponden a los valores estándar 
de resistores que se pueden comprar.  Para obtener estos valores será necesario utilizar resistores en serie, cuya suma sea apróximadamente el valor utilizado en la simulación del circuito.

Por ejemplo, para el resistor que se indica de $1750 \Omega$, se pude utilizar un resistor de 
$1.2 k\Omega$ y un resistor de $560 \Omega$, obteniendo una resistencia total de $1760 \Omega$, muy cercana
a la pedida por el circuito (1\% de diferencia).


\newpage
\section{Respuesta en Frecuencia}

La Figura \ref{fig_bode} muestra el diagrama de Bode para el circuito propuesto.  Es claro que la mayor amplificación se dá cuando $\omega = 1000$, en cuyo caso la ganancia llega a los 34dB. 

Estos 34dB de amplificación se deben a los 20dB de ganancia que aporta el
cero que se encuentra en $\omega=100$, los 12dB que aporta el $Q$ de los polos complejos
conjugados en $\omega=1000$ y los 2dB de ganancia para $\omega=0$.

Se trata de un valor de amplificación bastante importante.  Con una señal de entrada de $1$v de amplitud, se obtendrá una señal de salida de aproximadamente $50$v de amplitud.

\begin{figure}[htb]
\centering
\include{bode}
\caption{\label{fig_bode}Diagrama de Bode}
\end{figure}

Por otro lado, es posible observar que alrededor de esta frecuencia se produce un cambio importante en la fase de la salida del circuito, que pasa de estar adelantada casi $\pi/3$ radianes, a estar atrasada $pi/2$ radianes. Esto se debe a la presencia del polo doble en $\omega=1000$.

%%
%% Octave:
%%
%% sys=zp([-10000 -100],[-5000 roots([1/1000000 1/3981 1])'],6300);
%% impulse(sys)
%% step(sys) 
%%
%% Senoidal
%% --------
%% t=0:0.0001:0.045;
%% lsim(sys, sin(1000*t)', t);
%%
%% t=0:0.0001:0.08;
%% lsim(sys, sin(2*pi*100*t)', t);
%%
%% t=0:0.0001:0.1;
%% lsim(sys, sin(2*pi*50*t)', t);
%%
%% Cuadrada
%% --------
%% t=0:0.00001:0.08;
%% lsim(sys, ((-1).^(ceil(t*2*159))/2 + 0.5)', t);
%%
%% t=0:0.0001:0.4;
%% lsim(sys, ((-1).^(ceil(t*2*10))/2 + 0.5)', t);
%%
%% t=0:0.0001:0.25;
%% lsim(sys, ((-1).^(ceil(t*2*50))/2 + 0.5)', t);


\newpage
\section{Respuesta a excitaciones}

La función de transferencia puede ser también analizada utilizando la respuesta a distintas 
excitaciones.  Para encontrar esta respuesta analíticamente es necesario multiplicar la función de
transferencia dada por la ecuación (\ref{transf_pedida}) por las transformadas de cada una de las excitaciones y luego anti-transformar para obtener la expresión en el tiempo.

Por otro lado, es posible simular esta respuesta tanto con un programa de matemática como con un programa de simulación de circuitos.  Para la realización de este análisis, se efectuó la simulación matemática con el programa {\bf Octave} y la simulación del circuito con los programas {\bf Oregano} y {\bf Spice}.

\subsection{Respuesta al impulso}

Dado que la transformada de Laplace del impulso es $1$, la respuesta al
impulso puede obtenerse haciendo la anti-transformada de la ecuacion
(\ref{transf_pedida}). Y $h(t)$ será la respuesta al impulso puede
obtenerse mediante el método de fracciones simples:
\begin{eqnarray*}
H(s) &=& 1.26 \left( \frac{-4950.7}{s +5000} +  
                   \frac{-4975.30 - 373.10i}{s - (-125.60 + 992.08i)} +  
                   \frac{-4975.30 + 373.10i}{s - (-125.60 - 992.08i)} 
            \right) \\ 
H(s)  &=& 1.26 \left( \frac{-4950.7}{s +5000} +
                \frac{(99.75)^2 s + (1410.70)^2}
                     {s^2 + 251s + 1000^2 } \right) \\
H(s)  &=& 1.26 \left( \frac{-4950.7}{s + 5000} + 
                      \frac{(99.75)^2 \left( s + 125.6 \right)}
                 {\left(s + 125.6\right)^2 + 992.08^2} 
         + \frac{(860.43)^2}
                 {\left(s + 125.6 \right)^2 + 992.08^2} \right) 
\end{eqnarray*} 

\begin{figure}[hbt]
\centering
\include{impulse}
\caption{\label{fig_impulse}Respuesta al impulso, simulada con {\bf octave}}
\end{figure}

De manera que la respuesta al impulso será:
\begin{equation}                 
h(t) =  1.26 u(t) \left( -4950.7 e^{-5000t} +
            e^{-125t}\left( (99.75)^2 \cos(992.08t) + 0.87 \sin(992.08) \right) \right) 
\end{equation}

Viendo la Figura \ref{fig_impulse} que grafica la respuesta al impulso, es
claro que el impulso genera una respuesta senoidal amortiguada, con un pico
muy alto en el momento de producirse el impulso, pero que decae muy
rápidamente a cero. \\

Esta respuesta no es posible simularla en spice, ya que no se puede generar
un impulso real.  Sin embargo, utilizando un pulso de muy corta duración y
mucha amplitud es posible obtener un comportamiento similar al del impulso.

\subsection{Respuesta al escalón}

La respuesta al escalón se puede obtener analíticamente, multiplicando la ecuacion (\ref{transf_pedida}) por la transformada del escalón, es decir $1/s$. Y $s(t)$ será la respuesta al escalón:

\begin{eqnarray*}
S(s) &=& 1.26 \left( 
                    \frac{1}{s} +  
                    \frac{0.99}{s +5000} +  
                   \frac{-0.995 - 4.89i}{s - (-125.60 + 992.08i)} +  
                   \frac{-0.995 + 4.89i}{s - (-125.60 - 992.08i)} 
            \right) \\ 
S(s)  &=& 1.26 \left( \frac{1}{s} + \frac{0.99}{s +5000} +
                \frac{1.99 s + (97.22)^2}
                     {s^2 + 251s + 1000^2 } \right) \\
S(s)  &=& 1.26 \left(\frac{1/s} + \frac{0.99}{s + 5000} + 
                      \frac{1.99 \left( s + 125.6 \right)}
                 {\left(s + 125.6\right)^2 + 992.08^2} 
         + \frac{(95.9)^2}
                 {\left(s + 125.6 \right)^2 + 992.08^2} \right) 
\end{eqnarray*} 

De manera que la respuesta al escalón será:
\begin{equation}                 
s(t) =  1.26 u(t) \left( 1 + 0.99 e^{-5000t} +
            e^{-125t}\left( 1.99 \cos(992.08t) + 0.0093 \sin(992.08) \right) \right) 
\end{equation}

\begin{figure}[hbt]
\centering
\include{step}
\caption{\label{fig_step}Respuesta al escalón, simulada con {\bf octave}}
\end{figure}

La Figura \ref{fig_step} grafica la respuesta analítica al escalón.  Es
importante destacar que esta respuesta tiene a $1.26$v, que es la
transferencia de $2dB$ que se pidió en el enunciado para $\omega=0$.

De la ecuación analítica de la respuesta al escalón es claro que se va a
presentar este comportamiento, debido a la presencia del térmido de valor
$1$.

Además, se puede ver que el comportamiento es el de una onda sinusoidal
amortiguada que tiende muy rápidamente al valor estable. \\

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_escalon.eps}
\caption{\label{fig_escalon_oregano}Respuesta al escalón, simulada con {\bf spice}}
\end{figure}

Para simular este comportamiento sobre el circuito, se utilizó una fuente
de un pulso, con un tiempo de crecimiento de $1\mu$s, y $1$s de duración.
El comportamiento observado se grafica en la Figura
\ref{fig_escalon_oregano}.  Puede verse que al igual que la respuesta
analítica, el pulso tiende muy rápidamente ($0.05$s) a estabilizarse en la
salida para $\omega=0$.

\clearpage
\subsection{Respuesta a una onda senoidal}

La respuesta a una onda senoidal se puede obtener analíticamente,
multiplicando la ecuación (\ref{transf_pedida}) por la transformada de la
onda senoidal deseada, dada por $\omega/(s^2 + \omega^2)$, con
$\omega=1000$. Y $v(t)$ será la respuesta a esta onda:

\begin{eqnarray*}
V(s) &=& 1260 \left(
                    \frac{-1.90}{s +5000} +  
                   \frac{-0.0039 - 0.019i}{s - 0.001i} +  
                   \frac{-0.0039 + 0.019i}{s + 0.001i} + \right.\\ 
&&\;\;\left.       \frac{0.004 + 0.019i}{s - (-125.60 + 992.08i)} +  
                   \frac{0.004 + 0.019i}{s - (-125.60 - 992.08i)} 
            \right) \\ 
V(s)  &=& 1260 \left( \frac{-1.90}{s+5000} +
                \frac{-0.0077 s + (6.22)^2}{s^2 + 1000^2 } +
                \frac{0.0079 s + -37.62}{s^2 + 251s + 1000^2 } 
                \right) \\
V(s)  &=& 1260 \left(\frac{1.90}{s + 5000} + 
                \frac{-0.0077 s}{s^2 + 1000^2 } +
                \frac{(6.22)^2}{s^2 + 1000^2 } + \right.\\
&&\;\;\left.    \frac{0.0079 \left( s + 125.6 \right)}
                 {\left(s + 125.6\right)^2 + 992.08^2} 
         - \frac{38.6}
                 {\left(s + 125.6 \right)^2 + 992.08^2} \right) 
\end{eqnarray*} 

\begin{figure}[hbt]
\centering
\include{oct_senoidal_w1000}
\caption{\label{fig_sinusoide}Respuesta a una onda senoidal con
$\omega=1000$, simulada con {\bf octave}}
\end{figure}

De manera que la respuesta a la senoidal, con $\omega=1000$ será:
\begin{eqnarray*}                 
v(t) &=&  1260 u(t) \left( -1.90 e^{-5000t} \right. + \\
&&e^{-125t}\left( 0.0079 \cos(992.08t) - 3.9\times10^{-5}
            \sin(992.08) \right) - \\
&& \left. 0.0077 \cos(1000t) + 0.04 \sen(1000t) \right)
\end{eqnarray*}

Es decir que la salida será una onda senoidal de la misma frecuencia que 
la entrada, que durante el régimen transitorio sufrirá una 
amortiguación de muy corta duración. \\

La frecuencia de amplificación máxima del circuito es en los $1000 rad/s$,
equivalente a $159$Hz.
Para poder apreciar la amplificación, se simula una onda senoidal de
$159$Hz de frecuencia y amplitud $1$v.

La respuesta a esta onda  se puede ver claramente en la Figura
\ref{fig_sinusoide}, simulada matemáticamente, y en la Figura
\ref{fig_senoide_oregano} simulada con {\bf spice}.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics{resp_senoide159.eps}
\caption{\label{fig_senoide_oregano}Respuesta a una onda senoidal con $\omega=1000$, simulada con {\bf spice}}
\end{figure}

Como se ve en las figuras, durante los primeros ciclos hay un régimen
transitorio en el que la amplificación va creciendo, una vez alcanzado el
régimen estacionario, la onda es de $50$v pico, como se esperaba. \\

El comportamiento del circuito ante ondas senoidales de distintas
frecuencias no es el mismo.  Por esa razón, se simulan tanto en {\bf
octave} como en {\bf spice} ondas senoidales de frecuencias 10Hz, 50Hz,
100Hz, 500Hz, 1000Hz y 5000Hz. \\

En estas figuras es posible apreciar dos características del comportamiento
del circuito.  

Por un lado, es claro que cuando la frecuencia de entrada es cercana a la
de máxima amplificación, la amplificación a
la salida es bastante importante.  A 100Hz, por ejemplo, la salida es una
onda de 13v de amplitud, mientras que a 50Hz y 500Hz la salida es cercana a
los 4v, y a frecuencias más distantes es aún menor.

Por otro lado, es interesante analizar las distintas maneras en que se
presenta el régimen transitorio según la frecuencia de la onda de entrada.
Mientras que a frecuencias bajas el régimen transitorio afecta a unos pocos
ciclos, a frecuencias altas afecta un número muy importante de ciclos.  En
este caso, es claro que la onda se encuentra envuelta en una senoidal
amortiguada de menor frecuencia (unos 100Hz).

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide10.eps}
\include{oct_senoidal_f10}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 10Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide50.eps}
\include{oct_senoidal_f50}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 50Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide100.eps}
\include{oct_senoidal_f100}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 100Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide500.eps}
\include{oct_senoidal_f500}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 500Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide1000.eps}
\include{oct_senoidal_f1000}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 1kHz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{resp_senoide5k.eps}
\include{oct_senoidal_f5000}
\caption{Respuesta a una onda senoidal con una frecuencia de 5kHz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\clearpage
\subsection{Respuesta a una onda cuadrada}

La respuesta del circuito a la onda cuadrada varía apreciablemente 
con la frecuencia de la onda
aplicada.  A bajas frecuencias, la respuesta será similar a la del escalón
seguida por la de un escalón invertido.  A altas frecuencias, la respuesta
será similar a la de una onda senoidal.

La Figura \ref{fig_cuadrada_159},
ilustra el comportamiento del circuito a la frecuencia de máxima 
amplificación ($159Hz$).  

\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-160Hz.eps}
\include{oct_cuadrada_f159}
\caption{\label{fig_cuadrada_159} Respuesta a la onda cuadrada con
frecuencia $159Hz$, simulada con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

En ambos casos se simuló con una onda cuadrada
de 1v pico, que comienza en cero, y tiene un ciclo como el ilustrado en la 
Figura \ref{fig_onda_cuadrada}.  El tiempo de crecimiento del flanco, en la
simulación con spice es de 10ns.\\

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{onda_cuadrada.eps}
\caption{\label{fig_onda_cuadrada} Onda cuadrada 
de 159Hz utilizada en la simulación}
\end{figure}

La respuesta observada es muy similar a la de la onda senoidal, llegando a
un pico de casi 30v. La diferencia en la amplitud se debe principalmente 
a que se está utilizando una onda de 1v pico a pico, 
mientras que la senoidal utilizada era de 1v pico. \\

Para poder apreciar los diversos comportamientos que tiene el circuito ante
las distintas frecuencias que puede tener la onda cuadrada, se realizó esta
misma simulación con varias frecuencias adicionales: 10Hz, 50Hz, 100Hz,
200Hz, 1000Hz y 2000Hz.

A bajas frecuencias (10Hz) es posible apreciar como para cada flanco de 
la onda cuadrada se produce una onda senoidal amortiguada, similar a la de la
respuesta al escalón, que es prácticamente independiente de las producidas
para los otros flancos.

A medida que la frecuencia de la onda cuadrada aumenta, sin embargo, la
salida se va aproximando más a una onda senoidal.

A altas frecuencias (1kHz, 2kHz) nuevamente es posible apreciar la
presencia de una onda senoidal amortiguada (de poco más de 100Hz) 
que envuelve a la onda de alta frecuencia.

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-10Hz.eps}
\include{oct_cuadrada_f10}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 10Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-50Hz.eps}
\include{oct_cuadrada_f50}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 50Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-100Hz.eps}
\include{oct_cuadrada_f100}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 100Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-200Hz.eps}
\include{oct_cuadrada_f200}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 200Hz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-1kHz.eps}
\include{oct_cuadrada_f1000}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 1kHz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\begin{figure}[ptb]
\centering
\includegraphics{resp_cuadrada-2kHz.eps}
\include{oct_cuadrada_f2000}
\caption{Respuesta a una onda cuadrada de frecuencia de 2kHz, simulada
con {\bf spice} y con {\bf octave}}
\end{figure}

\clearpage
\section{Implementación del circuito}

Para la implementación del circuito es necesario tener en cuenta lo mencionado anteriormente con respecto a los valores de las resistencias, es decir, que los valores comerciales de los resistores no se ajustan a todos los valores utilizados en el circuito, por lo que será necesario reemplazarlos por dos o tres resistores en serie, obteniendo una resistencia total que se puede alejar un poco de la resistencia ideal.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{plaqueta.eps}
\caption{\label{fig_plaqueta}Fotografía del circuito armado}
\end{figure}

En la Figura \ref{fig_plaqueta} puede verse una fotografía del circuito armado sobre una plaqueta de experimentación.  Mientras que en la Figura \ref{fig_circuito_real} puede verse el diagrama del circuito 
con los valores de las sumas de las resistencias utilizadas en el circuito.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{circuito_real.eps}
\caption{\label{fig_circuito_real}Circuito con los valores reales de los resistores}
\end{figure}

Si bien se puede ver que los valores no son los mismos, la transferencia obtenida al utilizar estos valores en la simulación con {\bf spice} es muy similar a la de los valores exactos, de manera que se puede considerar que los valores están dentro del rango aceptable de tolerancia. 

\subsection{Componentes utilizados}

Para el amplificador operacional se utilizó un amplificador tl082, que
tiene un rango importante en la tensión de entrada (12 a 36v), necesarios
para que se puedan amplificar los 34dB a frecuencia máxima.

Se utilizaron resistores de 10k$\Omega$, 8.2k$\Omega$, 1.2k$\Omega$, 1k$\Omega$, 560$\Omega$, 330$\Omega$ y 220$\Omega$.  Y capacitores de 1$\mu$F y 100nF.

\newpage
\subsection{Problemas a tener en cuenta}

Es importante tener en cuenta que la tensión que se le utilice como entrada
del circuito debe tener una amplitud lo suficientemente pequeña como para
no saturar el circuito.

Con una entrada de 1V de amplitud, por ejemplo,
la alimentación de los amplificadores no será suficiente para obtener 
la salida esperada (50V).

Utilizando una entrada de $50$mV pico a pico, la salida para la frecuencia
de máxima amplificación deberá ser de $2.5$V pico a pico. Este es un valor
un poco más razonable, y sin embargo el circuito sigue saturando.

Es recomendable, entonces, utilizar tensiones aún menores a este valor, de
manera que los amplificadores operacionales no saturen la salida, pero
teniendo cuidado de que no se introduzca ruido externo.

\newpage
\section{Conclusiones}

La ecuación de transferencia pedida en el enunciado (\ref{transf_pedida})
se cumple con el circuito propuesto.  Sin embargo, resulta claro que el
circuito es excesivamente complejo, ya que se trata de un pasabanda con dos
ceros y tres polos y se están utilizando 5 capacitores, 3 operacionales y
un gran número de resistores.

Resulta casi evidente que se debe poder construir un filtro que cumpla con
la transferencia pedida, pero que utilice 2 operacionales, 3 capacitores y
un número menor de resistores.  Un circuito de estas características sería
más sencillo de implementar en la práctica y tendría menos posibilidades de
error humano.

Sin embargo, no fue posible encontrar el circuito que cumpla con estas
características, ya que no se trata de un filtro trivial. \\

Por otro lado, es tanta la ganancia del circuito en la frecuencia máxima,
que la salida del circuito se satura con fácilidad, y ya no se puede
observar la salida esperada.


\end{document}
