\chapter{Circuitos de Segundo Orden}

Son circuitos de segundo orden los que poseen inductores y capacitores en
un mismo circuito, o los que poseen inductores o capacitores que no se
pueden reemplazar por un equivalente.

En estos circuitos será necesario conocer las condiciones iniciales de la
función y de la derivada de la función.

\section{Circuito RLC serie}

Se analiza, en primer lugar, el comportamiento de un circuito RLC serie,
tanto si está excitado por condiciones iniciales, como por una fuente de
tensión.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/rlc_serie.tex}
\caption{\label{circ_rlc_serie} Un circuito RLC serie.}
\end{figure}

Recorriendo la malla del circuito planteado por la Figura
\ref{circ_rlc_serie}, es posible obtener la ecuación
(\ref{ec1_rlc_serie}), que es la ecuación {\bf integro-diferencial} que
caracteriza a la corriente del circuito.

\begin{equation}
\label{ec1_rlc_serie}
v(t) = L \frac{d i (t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau +
v_C(0^-) + Ri(t)
\end{equation}

Para poder resolver esta ecuación, se derivan ambos miembros, de manera que
se obtiene una ecuación diferencial ordinaria, lineal,  de
coeficientes constantes y de segundo orden.

\begin{equation}
\label{ec2_rlc_serie}
\frac{dv(t)}{dt} = L \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{C} i(t) +
R \frac{di(t)}{dt}
\end{equation}

\subsection{Respuesta a las condiciones iniciales}

Si no hay excitación de fuentes ($v(t) = 0$) la ecuación diferencial
(\ref{ec2_rlc_serie}) pasa a ser la ecuación homogénea
(\ref{ec2_rlc_serie_homo}).

\begin{equation}
\label{ec2_rlc_serie_homo}
\frac{d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{LC} i(t)= 0
\end{equation}

Para resolver esta ecuación,
se propone una solución de la forma $i(t) = K e^{st}$, de modo que la
derivada será $\frac{di(t)}{dt} = Ks e^{st}$ y la segunda derivada será
$\frac{d^2i(t)}{dt^2} = Ks^2 e^{st}$.

Reemplazando estos valores en la ecuación homogénea, se obtiene la ecuación
(\ref{ec3_rlc_serie}), a partir de la cual se puede obtener el {\bf
polinomio característico} de la función, dado por la ecuación
(\ref{poli_rlc_serie}).

\begin{eqnarray}
\label{ec3_rlc_serie}
s^2 K e^{st} + \frac{R}{L} s K e^{st} + \frac{1}{LC} K e^{st}  &=& 0 \\
\label{poli_rlc_serie}
K e^{st} \left( s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} \right) &=& 0
\end{eqnarray}

El polinomio característico tiene que anularse para cualquier valor de $t$.
Es necesario, entonces, encontrar las raíces del polinomio.

\begin{equation}
\label{raices_rlc_serie} s_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{ \left(
\frac{R}{2L} \right)^2 - \frac{1}{LC}}
\end{equation}

La solución del circuito dependerá de los valores que tomen $R$, $L$ y $C$.
Las diferentes combinaciones de valores dentro del discriminante determinan
tres posibles casos, que se estudian a continuación.

\subsubsection{[Caso 1] Raíces reales:
$ \left( \frac{R}{2L} \right)^2 > \frac{1}{LC}$}

Cuando el valor del discriminante es positivo, se obtienen dos raíces
reales y negativas.  De modo que la solución será de la forma
$i(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t}$.  Son dos exponenciales negativas,
tienden a cero cuando $t \rightarrow \infty$.

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales para $i(t)$ y
$\frac{di(t)}{dt}$, se pueden obtener los valores para $A$ y $B$.

\begin{eqnarray}
i(0) &=& A + B\\
\frac{di(t)}{dt}(0) &=& A s_1 + B s_2
\end{eqnarray}

\subsubsection{[Caso 2] Raíz doble:
$ \left( \frac{R}{2L} \right)^2 = \frac{1}{LC}$}

Cuando el discriminante es nulo, se obtiene una raíz doble y negativa, de
valor $s_1 = s_2 = - \frac{R}{2L}$.  En esta situación, una solución de la
forma $i(t) = A e^{s_1 t} + B t e^{s_1 t}$ satisface la ecuación
diferencial.

Del mismo modo que en el caso anterior, será necesario conocer los valores
de las condiciones iniciales para la función y su derivada para encontrar
los valores de $A$ y $B$.

\begin{eqnarray}
i(0) &=& A \\
\frac{di(t)}{dt}(0) &=& A s_1 + B
\end{eqnarray}

\subsubsection{[Caso 3] Raíces complejas:
$ \left( \frac{R}{2L} \right)^2 < \frac{1}{LC}$}

Cuando el valor del discriminante es negativo, las raíces obtenidas son
complejas conjugadas. La parte real de las raíces será negativa.

Se define $\sigma = \frac{R}{2L}$ y $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$.  De forma
que se puede escribir la ecuación (\ref{raices_rlc_serie}) como la ecuación
(\ref{raices_compl_rlc_serie}).

\begin{equation}
\label{raices_compl_rlc_serie}
s_{1,2} = -\sigma \pm \sqrt{ \sigma^2 - \omega_0^2}
\end{equation}

Se define $\omega_d^2 = \sigma^2 - \omega_0^2$, con lo que se tiene que las
raíces conjudas son $s_1 = - \sigma + j \omega_d$ y
$s_2 = - \sigma - j \omega_d$.

Si se propone una solución de la forma $i(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t}$,
se puede operar con los coeficiente definidos.

\begin{eqnarray}
i(t) &=& A e^{(-\sigma + j \omega_d) t} + B e^{(-\sigma - j \omega_d) t} \\
i(t) &=& e^{-\sigma t} \left( A e^{j \omega_d t} + B e^{- j \omega_d t}
\right)
\end{eqnarray}

El valor de la corriente no puede ser complejo, de modo que los
coeficientes $A$ y $B$ deben ser números complejos conjugados que permitan
que una vez realizada la operación $i(t) \in \Re$.  Se define, entonces,
$A = K_R + j K_i$ y $B = K_R - j K_i$.

\begin{eqnarray}
i(t) &=& e^{-\sigma t} \left( (K_R + j K_i) e^{j \omega_d t} +
(K_R - j K_i) e^{- j \omega_d t} \right) \\
i(t) &=& e^{-\sigma t} \left( K_R ( e^{j \omega_d t} +  e^{-j \omega_d t})
+ j K_i ( e^{j \omega_d t} - e^{-j \omega_d t}) \right) \\
i(t) &=& e^{-\sigma t} \left( K_R 2 \cos (\omega_d t)
+ K_i 2 \sin (\omega_d t) \right) \\
\label{sol_compl_rlc_serie} i(t) &=& e^{-\sigma t} \left( K_1 \cos
(\omega_d t) + K_2 \sin (\omega_d t) \right)
\end{eqnarray}

Se trata de una función exponencial que modula la suma de dos funciones
senoidales. Siempre que se trate de un caso de raíces conjugadas se puede
proponer como una solución de la forma de la ecuación
(\ref{sol_compl_rlc_serie}), o bien una solución de la forma de la ecuación
(\ref{sol_compl_rlc_serie2}).

\begin{equation}
\label{sol_compl_rlc_serie2} i(t) = e^{-\sigma t} A \cos
(\omega_d t + \gamma)
\end{equation}

Para pasar de la primera expresión a la segunda, se toma
$\gamma = \arctan \frac{K_2}{K_1}$ y $A = K_1^2 + K_2^2$. \\

Al igual que en los casos anteriores, es posible encontrar los valores para
$K_1$ y $K_2$ (o $K_1$ y $\gamma$ si se prefiere la segunda expresión),
utilizando las condiciones iniciales de la función y su derivada.

\begin{eqnarray}
i(0) &=& K_1 \\
\frac{di}{dt}(0) &=& - \sigma K_1 + \omega_d K_2
\end{eqnarray}

\subsubsection{Ejemplo numérico}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/ej_rlc_serie.tex}
\caption{\label{circ_ej_rlc_serie} Ejemplo de circuito RLC serie.}
\end{figure}

El polinomio característico del circuito de la Figura
\ref{circ_ej_rlc_serie}, estará dado por la ecuación
(\ref{poli_ej_rlc_serie}) y las raíces del polinomio serán las indicadas
por la ecuación (\ref{raices_ej_rlc_serie}).

\begin{eqnarray}
\label{poli_ej_rlc_serie} s^2 + 3 s + 1 &=& 0  \\
\label{raices_ej_rlc_serie} s_{1,2} = - 1.5 \pm \sqrt{2.25 -1} &\approx&
-1.5 \pm 1.12 \\
s_1 = -2.62 & \textrm{y} & s_2 = -0.38
\end{eqnarray}

Como se puede apreciar, se trata de un circuito del primer tipo explicado,
es decir, son dos raíces reales y negativas.  La forma de la solución, por
lo tanto, será: $i(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t}$, y para encontrar los
coeficientes $A$ y $B$, será necesario tener en cuentas las condiciones
iniciales.

En este ejemplo, se toma $i(0) = 2 \textrm{A}$  y
$\frac{di}{dt}(0) = 1 \textrm{A}/\textrm{s}$.  El sistema de ecuaciones
para encontrar $A$ y $B$ está dado por las ecuaciones
(\ref{sist1_ej_rlc_serie}) y (\ref{sist2_ej_rlc_serie}).

\begin{eqnarray}
\label{sist1_ej_rlc_serie}
A + B &=& 2 \textrm{A} \\
-2.62 A - 0.38 B &=&  1 \textrm{A}/\textrm{s}
\end{eqnarray}

Resolviendo el sistema se obtiene que $A \approx -0.79$ y
$B \approx 2.79$

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{graficos/ej1rlc.eps}
\caption{\label{graf_ej1rlc} La corriente del circuito de la Figura
\ref{circ_ej_rlc_serie}.}
\end{figure}

Como puede apreciarse en la Figura \ref{graf_ej1rlc}, el efecto de la
primera función exponencial es apreciable únicamente durante los primeros
segundos, ya que $\tau_1 = 1/s_1 = 0.38$ y $5\tau_1 = 1.9$; mientras que el
efecto de la segunda exponencial permanece durante casi 15 segundos, ya que
$\tau_2 = 1/s_2 = 2.63$ y $5\tau = 13.16$.

\subsubsection{Otro ejemplo numérico}

Si en lugar de $3 \Omega$ el valor de la resistencia fuera de $10 \Omega$,
las raíces del polinomio serían $s_1 = -0.1$ y $s_2 = -9.9$.

Y si, además, las condiciones iniciales están dadas por
$v_C(0) = 5 \textrm{V}$ y $v_R(0) = 10 \textrm{V}$, es necesario operar con
estas condiciones para poder llegar a los datos desados.  A partir de
$v_R(0)$ se puede obtener $i(0)$: $v_R(0) = i(0) R = 10 \textrm{V}$, de
modo que $i(0) = 1 \textrm{A}$, y a partir de $v_C(0)$ se puede obtener
$\frac{di}{dt}(0)$: $v_C(0) = C \frac{di}{dt}(0) = 5 \textrm{V}$, de forma
que $\frac{di}{dt}(0) = 5 \textrm{A}/\textrm{s}$.

En este caso, al resolver el sistema de ecuaciones los valores para las
constantes $A$ y $B$ son $A=1.52$ y $B=-0.52$.

\subsection{Análisis General}

En el análisis del tercer caso de las raíces se definieron las variables
$\sigma = \frac{R}{2L}$ y $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$.  Utilizando estas
variables, y teniendo en cuenta que la ecuación diferencial es la misma
para todas las funciones del circuito, se puede escribir la ecuación
(\ref{ec2_rlc_serie_homo}) como la ecuación
(\ref{rlc_serie_homo_analisis}).

Las raíces del polinomio característico
estarán dadas por la ecuación (\ref{raices_compl_rlc_serie}), explicada
anteriormente.

\begin{equation}
\label{rlc_serie_homo_analisis}
\frac{d^2 f(t)}{dt^2} + 2 \sigma \frac{df(t)}{dt} + \omega_0^2 f(t)= 0
\end{equation}

Se define, además, el {\bf factor de mérito}:
$Q = \frac{\omega_0}{2\sigma}$, que es un indicador de qué tan amortiguada
está la función.  Representa la relación entre la cantidad de energía
acumulada y la cantidad de energía disipada por cada ciclo.

De este modo, la ecuación
(\ref{rlc_serie_homo_analisis}) puede escribirse también como la ecuación
(\ref{rlc_serie_homo_analisis2}).  Y las raíces del polinomio
característico estarán dadas por la ecuación
(\ref{rlc_serie_homo_analisis_raices}).

\begin{eqnarray}
\label{rlc_serie_homo_analisis2}
\frac{d^2 f(t)}{dt^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{df(t)}{dt} +
\omega_0^2 f(t) &=& 0
\\
\label{rlc_serie_homo_analisis_raices}
s_{1,2} &=& -\frac{\omega_0}{2Q} \pm \sqrt{
\left(\frac{\omega_0}{2Q}\right)^2 - \omega_0^2}
\end{eqnarray}

Puede realizarse, entonces, un análisis de los posibles resultados a
obtener, según este nuevo discriminante dado por
$(\frac{\omega_0}{2Q})^2 - \omega_0^2$.

\subsubsection{[Caso 1]
$\left( \frac{\omega_0}{2Q} \right)^2 > \omega_0^2$}

En este caso $2Q < 1$, es decir que $Q < 0.5$. Se dice que el circuito está
{\bf sobreamortiguado}.

\subsubsection{[Caso 2]
$\left( \frac{\omega_0}{2Q} \right)^2 = \omega_0^2$}

En este caso $2Q = 1$, es decir que $Q = 0.5$. Se dice que hay
{\bf amortiguamiento crítico}.

\subsubsection{[Caso 3]
$\left( \frac{\omega_0}{2Q} \right)^2 < \omega_0^2$}

En este caso $2Q > 1$, es decir que $Q > 0.5$. Se dice que el circuito está
{\bf subamortiguado}.

En el caso especial en que $\sigma = 0$ (debido a la ausencia de
resistencia en el circuito), $q \rightarrow \infty$, no hay
amortiguamiento, es decir que la amplitud de la función es constante, no
hay pérdida de energía. \\

Teniendo en cuenta que el discriminante será negativo, puede definirse,
además, una nueva variable $\omega_d$.  A partir de la ecuación
(\ref{def_omega_d}).

\begin{eqnarray}
s_{1,2} &=& -\frac{\omega_0}{2Q} \pm i \sqrt{
\omega_0^2 - \left(\frac{\omega_0}{2Q}\right)^2 } \\
\label{def_omega_d}
\omega_d &=& \omega_0 \sqrt{
1 - \left(\frac{1}{2Q}\right)^2 } \\
\end{eqnarray}

De modo que cuanto mayor sea $Q$ más se aproximará $\omega_d$ a $\omega_0$,
mientras que con $Q \rightarrow 0.5$, $\omega_N \rightarrow 0$.


\subsubsection{Ejemplo numérico}

Si en un circuito RLC como el ya ilustrado se tiene una resistencia de
$20 \Omega$, una capacitancia de $0.01$F y una inductancia $1$Hy, la
ecuación diferencial para la corriente será
$\frac{d^2 i(t)}{dt^2} + 10 \frac{di(t)}{dt} + 100 i(t) = 0$.
En este caso $2\sigma = 5$, $\omega_0 = \sqrt{100} = 10$, y
$Q = \frac{\omega_0}{2\sigma} = 1$. Es decir, $Q > 0.5$, el comportamiento
del circuito será una cosinusoide amortiguada.

Es posible escribir el factor de mérito en función de la resistencia del
circuito : $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$.  De este modo, si se quiere variar
la resistencia para obtener $Q < 0.5$.

\begin{eqnarray*}
\frac{\omega_0 L}{R} &<& 0.5 \\
\frac{10}{0.5} &<& R \\
20 &<& R \\
\end{eqnarray*}

Con una resistencia mayor a $20 \Omega$ se obtendrá un circuito
sobreamortiguado, es decir, un comportamiento dado por dos exponenciales
negativas.  Mientras que la resistencia del amortiguamiento crítico será
exactamente $R=20 \Omega$.

%\subsection{Respuesta a la excitación de fuentes}

%\section{Circuito RLC Paralelo}

%\section{Otros circuitos de segundo orden}


