\chapter{Redes Resistivas}

\section{Circuitos resistivos básicos}

Se analizan a continuación algunos circuitos resistivos básicos que se utilizarán más adelante en el análisis de circuitos más complejos.

\subsection{Divisor de tensión}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/divisor_tension.tex}
\caption{Divisor de tensión.}
\end{wrapfigure}

El divisor de tensión es un circuito sencillo, donde la tensión $v(t)$ entregada por la fuente se divide entre dos resistencias $R_1$ y $R_2$, de modo que la salida puede ser la tensión $v_1(t)$ que cae en la resistencia $R_1$ o la tensión $v_2(t)$ que cae en la resistencia $R_2$.

Se quiere encontrar las tensiones $v_1(t)$ y $v_2(t)$.

\begin{eqnarray*}
v_1(t) & = & i(t) R_1 \\
v_2(t) & = & i(t) R_2 \\
i(t) & = & \frac{v(t)}{R_1 + R_2}
\end{eqnarray*} 

Las tensiones, entonces, pueden obtenerse de las siguientes ecuaciones.

\begin{eqnarray*}
v_1(t) & = & \frac{v(t) R_1}{R_1 + R_2} \\
v_2(t) & = & \frac{v(t) R_2}{R_1 + R_2}
\end{eqnarray*}

\subsection{Divisor de corriente}

\begin{wrapfigure}{o}[1in]{1.9in}
\centering
\input{circuitos/divisor_corriente.tex}
\caption{Divisor de corriente.}
\end{wrapfigure}

Similar al circuito del divisor de tensión, un divisor de corriente consiste en una fuente de corriente $i(t)$, cuya corriente entregada se divide en dos conductancias $G_1$ y $G_2$ conectadas en paralelo.

Para obtener las ecuaciones que permiten hayar $i_1(t)$ y $i_2(t)$ se utilizan las siguientes ecuaciones.

\begin{eqnarray*}
i_1(t) & = & v(t) G_1 \\
i_2(t) & = & v(t) G_2 \\
v(t) & = & \frac{i(t)}{G_1 + G_2}
\end{eqnarray*} 

Las corrientes sobre cada rama, serán las siguientes.

\begin{eqnarray*}
i_1(t) & = & \frac{i(t) G_1}{G_1 + G_2} \\
i_2(t) & = & \frac{i(t) G_2}{G_1 + G_2}
\end{eqnarray*}

Si en lugar de conductancias, se quiere trabajar con resistencias, la deducción será la misma, teniendo en cuenta que $G_1 = \frac{1}{R_1}$ y 
$G_2 = \frac{1}{R_2}$.  

\begin{eqnarray*}
i_1(t) & = & \frac{i(t)}{R_1} \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \\
i_1(t) & = & \frac{i(t) R_1 R_2}{R_1 (R_1 + R_2)} \\
i_1(t) & = & \frac{i(t) R_2}{R_1 + R_2} 
\end{eqnarray*}

Es importante notar que la resistencia que multiplica a la corriente es $R_2$, es decir la que no corresponde a esa corriente. Del mismo modo sucederá para $i_2(t)$.

\begin{displaymath}
i_2(t) = \frac{i(t) R_1}{R_1 + R_2} 
\end{displaymath}

\section{Resolución de circuitos resistivos}

Para poder resolver circuitos resistivos se utilizarán las ecuaciones de los nodos y las mallas, según las definiciones que se han dado en la sección \ref{definiciones_kirchhoff}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/ejemplo_resistencias.tex}
\caption{\label{circuito_basico} Un circuito resistivo básico.}
\end{figure}

En la figura \ref{circuito_basico}, se puede apreciar un circuito con tres resistencias y dos fuentes de tensión.  De los cuatro nodos que se han marcado en el circuito, solamente dos son relevantes al análisis que se quiere realizar ($B$ y $D$), ya que de los otros dos nodos simplemente se puede decir que $i_{v_1} = i_1$ y $i_{v_2} = i_3$.

Las ecuaciones para los nodos $B$ y $D$ serán las siguientes.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\mathrm{B)} & i_1 & = & i_2 + i_3 \\
\mathrm{D)} & i_2 + i_{v_2} &=& i_{v_1}
\end{array} 
\end{displaymath}

Teniendo en cuenta lo que se dijo anteriormente de $i_{v_1}$ y $i_{v_2}$, es evidente que estas ecuaciones son linealmente dependientes, y por lo tanto es posible eliminar una.

En general, el número de ecuaciones independientes es igual al número de nodos menos uno. \\

De la misma manera, se pueden plantear las ecuaciones de las mallas del circuito, teniendo en cuenta las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm.  En este caso, las ecuaciones serán las siguientes.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1 & = & i_1 R_1 + i_2 R_2 \\
\textrm{II)} & -v_2 &=& i_3 R_3 -i_2 R_2 
\end{array} 
\end{displaymath}

En este caso, las dos ecuaciones son independientes.  Es decir, el número de ecuaciones independientes coincide con el número de mallas del circuito.

\subsection{Método de mallas}

El método de mallas consiste en plantear la existencia de una {\bf corriente de malla}.  No se trata de una corriente real, sino de una variable que simplifica los cálculos.

Cada malla tendrá una corriente de malla asociada.
Todas las corrientes de malla que se planteen deben tener el mismo sentido, aunque este no necesariamente sea el sentido real de la corriente en el elemento.

Los elementos que pertenezcan a dos mallas, tendrán dos sentidos de referencia asociados, uno para cada una de las corrientes de malla que los recorren.
En el ejemplo de la figura \ref{dos_mallas}, la resistencia $R_2$ tiene un sentido de referencia cuando se la considera en la malla 1, y otro sentido de referencia cuando se la considera en la malla 2. \\

Las ecuaciones del método de mallas se plantean poniendo de un lado del igual todas las fuentes de tensión de la malla, y del otro la corriente de malla multiplicada por la suma de las resistencias de la malla, menos la corrientes de malla adyacentes por las resistencias en común.

\subsubsection{Para dos mallas}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/ejemplo_2_mallas.tex}
\caption{\label{dos_mallas} Dos mallas y sus corrientes de malla asociadas.}
\end{figure}

Estas son las ecuaciones de malla para el circuito de la figura \ref{dos_mallas}.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1 & = & i_1 ( R_1 + R_2) - i_2 R_2 \\
\textrm{II)} & -v_2 &=& i_2 (R_2 + R_3) -i_1 R_2 
\end{array} 
\end{displaymath}

De este modo, es posible plantear una matriz de coeficientes que permitan encontrar las corrientes de malla. 

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{cc}
 R_1 + R_2 & - R_2 \\
-R_2 & R_2 + R_3
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
i_2
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
v_1 \\
-v_2
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

\subsubsection{Para tres mallas}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/ejemplo_3_mallas.tex}
\caption{\label{tres_mallas} Tres mallas y sus corrientes de malla asociadas.}
\end{figure}

Estas son las ecuaciones de malla para el circuito de la figura \ref{tres_mallas}.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1 & = & i_1 ( R_1 + R_2) - i_2 R_2 - i_3 R_1 \\
\textrm{II)} & -v_2 &=& i_2 (R_2 + R_3) -i_1 R_2 - i_3 R_2 \\
\textrm{III)} & 0 &=& i_3 (R_1 + R_3 + R_4) -i_1 R_1 - i_2 R_3 
\end{array} 
\end{displaymath}

De este modo, es posible plantear una matriz de coeficientes que permitan encontrar las corrientes de malla. 

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{ccc}
 R_1 + R_2 & - R_2 & - R_1\\
-R_2 & R_2 + R_3 & -R_3 \\
 -R_1 & - R_3 & R_1 + R_2 + R_4 \\
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
i_2 \\
i_3
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
v_1 \\
-v_2 \\
0
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

\subsubsection{Pasos mecánicos}

Es posible escribir la matriz de coeficientes directamente, sin necesidad de plantear las ecuaciones de mallas, siempre y cuando no haya fuentes controladas.

La matriz tendrá la siguiente forma general.

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{ccc}
 r_{11} & r_{12} & r_{13}\\
 r_{21} & r_{22} & r_{23}\\
 r_{31} & r_{32} & r_{33}\\
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
i_2 \\
i_3
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
v_1 \\
v_2 \\
v_3 \\
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

Donde $v_1$, $v_2$ y $v_3$ son las sumatorias de todas las subidas y caidas de potencial impuestas por fuentes, dentro de cada una de las mallas.
$r_{ij}$, con $i=j$ es la sumatoria de todas las resistencias de la malla $i$.
$r_{ij}$, con $i \neq j$ es la sumatoria de todas las resistencias en común entre la malla $i$ y la malla $j$, con el signo cambiado.
Y $i_1$, $i_2$ y $i_3$ son las corrientes de malla que se quiere encontrar.

Como puede apreciarse, siempre que no haya fuentes controladas la matriz de coeficientes será una matriz simétrica.

\subsubsection{Otros ejemplos}

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{minipage}{6cm}
\centering
\input{circuitos/ejemplo_3_mallas2.tex}
\caption{\label{tres_mallas2} Otro ejemplo de un circuito resistivo con tres mallas.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{flushright}
\input{circuitos/ejemplo_4_mallas.tex}
\end{flushright} 
\caption{\label{cuatro_mallas} Un ejemplo de un circuito resistivo con cuatro mallas.}
\end{minipage}

\end{figure}

Es posible resolver una cantidad de circuitos resistivos utilizando esta técnica.  A continuación algunos ejemplos un poco más complejos que los anteriores. \\

Para el ejemplo de la figura \ref{tres_mallas2}, la matriz de coeficientes será la siguiente.

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{ccc}
 R_1 + R_2 + R_3 & - R_3 & - R_2\\
-R_3 & R_3 + R_4 +R_5 & -R_4 \\
-R_2 & -R_4 & R_2 + R_4 + R_6 \\
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
i_2 \\
i_3 
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
-v_1 -v_2\\
v_2 \\
v_1 - v_3 
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

Mientras que para el ejemplo de la figura \ref{cuatro_mallas}, la matriz de coeficientes será la siguiente.

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{cccc}
 R_1 + R_2 & - R_2 & 0 & - R_1\\
-R_2 & R_2 + R_3 + R_4 & -R_4 & -R_3 \\
 0 & -R_4 & R_4 + R_5 & -R_5 \\
-R_1 & -R_3 & -R_5 & R_1 + R_3 + R_5 + R_6 \\
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
i_2 \\
i_3 \\
i_4
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
-v_1 \\
0 \\
v_2 \\
v_3 
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

\subsection{Método de nodos}

El concepto detrás del método de nodos es similar al del método de mallas.  Consiste en plantear la existencia de una {\bf Tensión de nodo}, que no necesariamente son la diferencia de potencial entre los bornes de los elementos, pero que se utilizan para simplificar los cálculos. \\

Las ecuaciones del método de nodos se plantean colocando de un lado del igual todas las corrientes entrantes o salientes que provengan de una fuente de corriente, y del otro lado del igual, la tensiôn del nodo multiplicada por las conductancias que llegan a ese nodo, menos la tensión de los nodos adyacentes por las conductancias en común.

\subsubsection{Para dos nodos}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/ejemplo_2_nodos.tex}
\caption{\label{dos_nodos} Dos nodos y sus tensiones de nodo asociadas.}
\end{figure}

Para el ejemplo planteado en la figura \ref{dos_nodos}, las ecuaciones de los nodos serán las siguientes.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{A)} & i_1 & = & v_A ( G_1 + G_2) - v_B G_2 \\
\textrm{B)} & -i_2 &=& v_B (G_2 + G_3) -v_A G_2 
\end{array} 
\end{displaymath}

Es importante tener en cuenta que no es necesario plantear el potencial del nodo al que está conectada la tierra, pues este potencia se lo considera 0, y se lo utiliza como el potencial de referencia para los otros valores de tensión.

Es posible, al igual que con el método de mallas, plantear una matriz de coeficientes que permitan encontrar las tensiones de nodo. 

\begin{displaymath}
\left[
\begin{array}{cc}
 G_1 + G_2 & - G_2 \\
-G_2 & G_2 + G_3
\end{array} 
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
v_A \\
v_B
\end{array} 
\right ]
 =
\left[
\begin{array}{c}
i_1 \\
-i_2
\end{array} 
\right ]
\end{displaymath}

\subsection{Circuitos más complejos}

En general, cuando se tienen fuentes de tensión es recomendable utilizar
el método de mallas y cuando se tienen fuentes de corriente el método de
nodos.

Sin embargo, en algunas situaciones puede ser conveniente utilizar el
método de nodos aún si se tiene una fuente de tensión.  Es el caso del
ejemplo de la figura \ref{otros_nodos}, en el cual la fuente de tensión
$v(t)$ fija un potencial para el nodo $A$, y se puede plantear la ecuación
del nodo $B$ teniendo en cuenta ese valor. \\

En otros casos, será necesario transformar alguna de las fuentes en una 
fuente del tipo contrario, para obtener un circuito que se pueda resolver
mediante el método de mallas o el método de nodos.

\begin{wrapfigure}{o}[1.3in]{1.5in}
\centering
\input{circuitos/ejemplo_otros_nodos.tex}
\caption{\label{otros_nodos} Un circuito con fuentes de tensión y corriente.}
\end{wrapfigure}

%\subsection{Circuitos con fuentes controladas}



