\chapter{Circuitos de Primer Orden}

Se llama circuitos de primer orden a aquellos en los cuales la ecuación
para una determinada función del circuito es una ecuación diferencial
ordinaria lineal y de primer orden.

Las soluciones que se indiquen, serán siempre a partir del tiempo $t=0$.

\section{Circuitos con condiciones iniciales no nulas}

Se trata de circuitos que no tienen fuentes interiores (con excitación
nula) excitados únicamente por las condiciones iniciales de los elementos.

Estos circuitos tendran ecuaciones diferenciales homogéneas.


\subsection{Circuito RC}

Si se conecta una resistencia en paralelo con un capacitor cargado, se
obtiene un circuito RC de primer orden, como el ilustrado en la Figura
\ref{rc}.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/rc.tex}
\caption{\label{rc} Un circuito RC de primer orden.}
\end{wrapfigure}


En este caso, utilizando la Ley de Kirchhoff de las corrientes, dada por la
ecuación (\ref{lck}), la Ley de Ohm, dada por la ecuación (\ref{ohm})  y la
ecuación (\ref{corriente_capacitor}) de la corriente del capacitor, se
puede llegar a la ecuación diferencial que caracteriza al circuito.

\begin{eqnarray}
i_R(t) + i_C(t) &=& 0\\
i_R(t) &=& - i_C(t) \\
\frac{v(t)}{R} &=& - C \frac{dv(t)}{dt}
\end{eqnarray}

La ecuación característica de este circuito RC, entonces, estará dada por
la ecuación (\ref{ec_dif_rc}).

\begin{equation}
\label{ec_dif_rc} \frac{dv(t)}{dt} + \frac{v(t)}{RC} = 0
\end{equation}

Una vez obtenida la ecuación diferencial, es necesario encontrar la
solución de la ecuación por los métodos estudiados en Análisis Matemático
para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

A continuación, se resuelve esta ecuación (\ref{ec_dif_rc}) paso a paso.

\begin{eqnarray}
\frac{dV(t)}{dt} &=& - \frac{v(t)}{RC} \\
\frac{dv(t)}{v(t)} &=&  - \frac{dt}{RC} \\
\int \frac{dv(t)}{v(t)} &=&  - \frac{1}{RC} \int dt  \\
\ln v(t)  &=& - \frac{t}{RC} + K \\
v(t) &=&  e^{- \frac{t}{RC} + K} = e^K e^{- \frac{t}{RC}} \\
v(t) &=& A e^{- \frac{t}{RC}}
\end{eqnarray}

Para poder determinar el valor de la constante $A$ es necesario utilizar
las condiciones iniciales del circuito.  Si, por ejemplo, la carga inicial
del capacitor es $V_0$, se tiene que $v(0) = A e^0 = A = V_0$, de modo que
la solución del circuito será la expresada por la ecuacion (\ref{sol_rc}).

\begin{equation}
\label{sol_rc} v(t) = \left( V_0 e^{- \frac{t}{RC}} \right) u(t)
\end{equation}

A medida que la resistencia aumenta, el decrecimiento de la tensión se hace
más lento, de modo que el comportamiento del circuito se acerca al de una
fuente de tensión.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{graficos/expneg.eps}
%\includegraphics{otroexpneg.eps}
\caption{Decrecimiento exponencial.}
\end{figure}

En este caso, $RC$ es la constante de tiempo del circuito,
usualmente denominada $\tau$. Esta constante de tiempo representa el
instante para el cual la diferencia de potencial del circuito se reduce un
$36.8$\% del total. Además, se considera que una vez transcurridos $5\tau$,
el circuito llega a su condición de estabilidad,en este caso $v(t)=0$,
toda la energía almacenada en el capacitor se ha perdido en forma de calor.

\subsection{Circuito RL}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/rl.tex}
\caption{\label{rl} Un circuito RL de primer orden.}
\end{wrapfigure}

Si se conecta una resistencia en serie con un inductor cargado, se
obtiene un circuito RL de primer orden, como el ilustrado en la Figura
\ref{rl}.

En este caso, para poder encontrar la ecuación diferencial del circuito, se
utiliza la Ley de las tensiones de Kirchhoff, dada por la ecuación
(\ref{lvk}), la Ley de Ohm, dada por la ecuación (\ref{ohm}), y la ecuación
(\ref{inductancia}) de la tensión en el inductor.

\begin{eqnarray}
v_R(t) + v_L(t) &=& 0\\
v_R(t) &=& - v_L(t) \\
i(t)R &=& - L \frac{di(t)}{dt}
\end{eqnarray}

De modo que se obtiene la ecuación diferencial (\ref{ec_dif_rl}),
muy similar a la ecuación (\ref{ec_dif_rc}) estudiada anteriormente.

\begin{equation}
\label{ec_dif_rl} \frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L}i(t) = 0
\end{equation}

En este caso, se utilizará otro método posible para resolver la ecuación
diferencial.  Se trata de la técnica de proponer una solución posible, de
acuerdo a la forma de la ecuación.

Se propone una solución de la forma
$i(t) = A e^{st}$, de modo que la derivada de la función será
$\frac{di(t)}{dt} = As e^{st}$. Reemplazando en la ecuación
(\ref{ec_dif_rl}) se obtiene el polinomio característico de la función,
dado por la ecuación (\ref{pol_rl}).

\begin{eqnarray}
Ase^{st} + \frac{R}{L} A e^{st} &=& 0 \\
\label{pol_rl} A e^{st} \left(s + \frac{R}{L} \right) &=& 0
\end{eqnarray}

La igualdad debe cumplirse para cualquier valor de $t$, de modo que no
tiene sentido que $Ae^{st} = 0$ y obligatoriamente $s + \frac{R}{L} = 0$,
de donde se obtiene que $s = - \frac{R}{L}$.

Además, resulta evidente que $s = \frac{1}{\tau}$, de modoe que en este
caso el coeficiente $\tau$ del circuito es $\tau = \frac{L}{R}$. Finalmente
la solución será la expresada en la ecuación (\ref{sol_rl}).

\begin{equation}
i(t) = \left( I_0 e^{- t \frac{R}{L}} \right) u(t)
\end{equation}

A medida que la resistencia aumenta, el decrecimiento de la corriente se
hace más lento, de modo que su comportamiento se aproxima al de una fuente
de corriente.

\subsection{Generalizaciones}

Si el circuito tuviera más de un resistor, el procedimiento para
encontrar la función de la tensión o de la corriente sería idéntico.  La
única diferencia sería que en lugar de utilizar el valor $R$ de la
resistencia, se utilizaría el valor $R_{eq}$ de la resistencia equivalente
del circuito. \\

Teniendo en cuenta la constante $\tau$, toda función cuya ecuación
diferencial tenga la forma: $\frac{df(t)}{dt} + \frac{f(t)}{\tau} = 0$,
tendrá una solución de la forma: $f(t) = F_0 e^{- \frac{t}{\tau}}$. \\

Siempre que un circuito tenga un solo capacitor o un solo inductor, tendrá
el comportamiento de un circuito de primer orden.  Si el circuito tiene más
de un capacitor o inductor, pero pueden simplificarse mediante el
equivalente serie o paralelo, también será un circuito de primer orden.


\subsection{Circuito con llaves}

Un circuito puede tener una llave que cambie de posición en un determinado
instante de tiempo.  En este caso, la ecuación diferencial que representa
al circuito tendrá una forma antes de que se active la llave, y otra forma
diferente una vez que la llave se haya activado. \\

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/rc_llave.tex}
\caption{\label{rc_llave} Circuito con llave, de primer orden.}
\end{wrapfigure}

En el circuito de la Figura \ref{rc_llave}, la llave se cierra en el
instante $t=5$, de modo que durante los primeros 5 segundos se tiene una
caída de tensión, y a partir de los 5 segundos se tiene otra caída
distinta.

El coeficiente $\tau$ durante los primeros 5 segundos será
$\tau=RC=10$. Si la tensión inicial en el capacitor es de $100 V$,
(\ref{llave1}) será la ecuación para la primera etapa del circuito.

\begin{equation}
\label{llave1} v(t) = \left( 100 e^{-\frac{t}{10}} \right) u(t) u(5-t)
\end{equation}

Una vez que se cierre la llave, la resistencia total pasará
a ser $R_{eq} \approx 1 \Omega$, de modo que $\tau=1$.
Calculando tensión del capacitor en el instante $t=5$ se puede obtener la
tensión inicial para esta segunda etapa: $v(5) = 100 e^{-1/2} \approx 61$.

La solución completa estará dada por la ecuación (\ref{sol_compl_llave}).

\begin{equation}
\label{sol_compl_llave} v(t) = \left( 100 e^{-\frac{t}{10}} \right) u(t)
u(5-t) + \left( 61 e^{-(t-5)} \right) u(t-5)
\end{equation}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{graficos/llave.eps}
\caption{\label{tension_llave}
La tensión en el circuito de la Figura \ref{rc_llave}}
\end{figure}

La Figura \ref{tension_llave} ilustra el decrecimiento de la tensión en
ambas etapas del circuito.

\section{Circuitos con condiciones iniciales nulas}

Se trata de circuitos en los cuales no hay carga en los inductores ni
capacitores, sino que están excitados por fuentes.

En estos circuitos la ecuación diferencial de una determinada función no
es homogénea.  Para poder resolver la ecuación, entonces, será necesario
resolver la ecuación homogénea, luego la particular y finalmente sumarlas
para obtener la total.

El Cuadro \ref{sol_particulares} indica las soluciones particulares que
deben proponerse ante una determinada excitación.

\begin{table}[htb]
\centering
\begin{tabular}{c|c}
Excitación & Solución Particular \\
\hline
$A u(t)$ & $K$ \\
$A t u(t)$ & $K_1 t + K_2$ \\
$( A t + B ) u(t)$ & $K_1 t + K_2$ \\
$A t^2 u(t)$ & $K_1 t^2 + K_2 t + K_3$ \\
$A \sin(\omega t) u(t)$ & $K_1 \sin(\omega t) + K_2 \cos(\omega t)$ \\
$A \cos(\omega t) u(t)$ & $K_1 \sin(\omega t) + K_2 \cos(\omega t)$
\end{tabular}
\caption{\label{sol_particulares} Soluciones particulares para proponer.}
\end{table} 

\subsection{Circuito RC}

Si al circuito RC estudiado anteriormente se conecta una fuente de
corriente, se obtiene un circuito como el ilustrado en la Figura
\ref{rc_corr}.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/rc_corr.tex}
\caption{\label{rc_corr} Un circuito RC con fuente de corriente.}
\end{wrapfigure}

La ecuación diferencial del circuito puede hallarse del mismo
modo que con el circuito de excitación nula.

\begin{eqnarray}
i_R(t) + i_C(t) &=& i(t) \\
\frac{v(t)}{R} + C \frac{dv(t)}{dt} &=& i(t)
\end{eqnarray}

La solución de la ecuación homogénea será igual a la encontrada
anteriormente, es decir: $v_H(t) = A e^{\frac{-t}{RC}}$.  Para resolver la
ecuación particular es necesario conocer $i(t)$.

\subsubsection{Respuesta al escalón}

Si, por ejemplo, $i(t)=Xu(t)$, la solución a proponer será $v_P(t) = K$.
De modo que $\frac{dv(t)}{dt} = 0$, y al reemplazar en la ecuación
diferencial se obtiene que $\frac{K}{R} = X u(t)$, de donde
$v_P(t) = RX u(t)$.

La solución completa estará dada por la ecuación (\ref{rc_corr_sol}).

\begin{equation}
\label{rc_corr_sol} v(t) = \left( A e^{\frac{-t}{RC}} + RX \right) u(t)
\end{equation}

Para encontrar el valor de la constante $A$ es necesario utilizar las
condiciones iniciales.  En este caso, la tensión en el capacitor es nula en
el instante $t=0$, es decir $v(0) = A + RX = 0$, de modo que $A = - RX$.

Finalmente, se llega a que la tensión del circuito está dada por la
ecuación (\ref{rc_corr_sol2}).

\begin{equation}
\label{rc_corr_sol2} v(t) = \left( 1 - e^{\frac{-t}{RC}} \right) RX \; u(t)
\end{equation}

Como se puede apreciar, esta solución tiene dos términos.  El término de la
exponencial negativa, que desaparece con el tiempo es llamado {\bf
solución transitoria}, mientras que el término constante, que no desaparece
con el tiempo, es llamado {\bf solución permanente}.

Es interesante notar que la solución a la ecuación homogénea está
relacionada con el término transitorio, mientras que la solución particular
está relacionada con el permanente.

\subsubsection{Respuesta al coseno}

Si, en cambio, la corriente entregada por la fuente es
$i(t)= K \cos (\omega t)$,
la solución a proponer y su derivada estarán dadas por las ecuaciones
(\ref{sol_cos}) y (\ref{deriv_sol_cos}) respectivamente.

\begin{eqnarray}
\label{sol_cos} v_P(t) &=& K_1 \sin (\omega t) + K_2 \cos (\omega t) \\
\label{deriv_sol_cos} \frac{dv_P(t)}{dt} &=& \omega K_1 \cos (\omega t) -
\omega K_2 \sin (\omega t)
\end{eqnarray}

Al reemplazar en la ecuación diferencial se obtiene la ecuación
(\ref{reempl_sol}).

\begin{equation}
\label{reempl_sol} X \cos (\omega t) = \frac{K_1}{R} \sin (\omega t) +
\frac{K_2}{R} \cos (\omega t) + C K_1 \omega \cos(\omega t) - C K_2 \omega
\sin(\omega t)
\end{equation}

Agrupando las constantes que multiplican a los senos y cosenos, se puede
ver que $\frac{K_2}{R} + C K_1 \omega = X$ y
$\frac{K_1}{R} - C K_2 \omega = 0$.

\begin{eqnarray}
K_1 &=& RC \omega K_2 \\
\frac{K_2}{R} + R C^2 \omega^2 K_2  &=& X \\
K_2 &=& \frac{X R}{1 + R^2 C^2 \omega^2} \\
K_1 &=& \frac{X R^2 C \omega}{1 + R^2 C^2 \omega^2}
\end{eqnarray}

La solución completa estará dada por la ecuación (\ref{rc_cos_sol}).

\begin{equation}
\label{rc_cos_sol} v(t) = \left( A e^{\frac{-t}{RC}} +
\frac{X R^2 C \omega}{1 + R^2 C^2 \omega^2} \sen (\omega t) +
\frac{X R}{1 + R^2 C^2 \omega^2} \cos (\omega t)
\right) u(t)
\end{equation}

Nuevamente, para encontrar el valor de la constante $A$ es necesario
utilizar las condiciones iniciales.  En este caso, la tensión en el
capacitor es nula en el instante $t=0$, es decir
$v(0) = A + \frac{X R}{1 + R^2 C^2 \omega^2} = 0$, de
modo que $A = - \frac{X R}{1 + R^2 C^2 \omega^2}$.

En este caso, el término permanente de la ecuación es la suma de dos
funciones senoidales.  Es decir que una vez que haya concluído el período
transitorio, la corriente seguirá variando en el tiempo, en forma senoidal.

\subsubsection{Respuesta a la rampa}

Otra función que puede utilizarse como excitación de la fuente es
$i(t) = K t u(t)$.  En este caso, la solución particular está dada por
$v_P(t) = K_1 t + K_2$, y su derivada será $\frac{dv_P(t)}{dt} = K_1$.

Reemplazando en la ecuación diferencial, se obtiene
$\frac{K_1 t + K_2}{R} + C K_1 = K t u(t)$.  De donde es evidente que
$K_1 = R K$ y $K_2 = -R^2 K C$.

La ecuación general estará dada por
$v(t) = A e^{\frac{-t}{RC}} + RK t -R^2 K C$.  Utilizando la condición
inicial nula se puede obtener el valor de la constante $A$,
$v(0) = A - R^2 K C$, de modo que (\ref{sol_rc_rampa}) será la ecuación
final.

\begin{equation}
\label{sol_rc_rampa}
v(t) = \left[ -R^2 K C \left( 1 - e^{\frac{-t}{RC}} \right) + RK t
\right] u(t)
\end{equation}

\subsubsection{Respuesta al impulso}

Finalmente, también es posible excitar el circuito con un impulso
$i(t) = K \delta(t)$.  Sin embargo, el comportamiento que se observe al
utilizar el impulso será distinto del comportamiento observado con las
otras excitaciones.

Teniendo en cuenta la ecuación (\ref{tension_capacitor}), es posible
observar que el impulso de corriente aplicado al capacitor cambia las
condiciones iniciales del circuito.

\begin{equation}
v_C(0^+) = \frac{1}{C} \int_{0^-}^{0^+} K \delta(t) = \frac{K}{C}
\end{equation}

Es decir que, se trata de un circuito con condiciones iniciales nulas y con
una excitación dada por una fuente de corriente, pero si se analiza a
partir del instante $t=0^+$, se puede ver como un circuito con condiciones
iniciales no nulas pero sin excitación.
La respuesta estará dada por la ecuacion (\ref{sol_rc}), con
$V_0 = \frac{K}{C}$. \\

Como ya se dijo, no es posible crear una $\delta(t)$ en la vida real, sin
embargo si el tiempo de duración de la corriente es mucho menor que el
coeficiente $\tau$ del circuito, es posible apreciar un comportamiento
similiar al generado por el impulso ideal.

\subsection{Circuito RL}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/rl_tens.tex}
\caption{\label{rl_tens} Un circuito RL con fuente de tensión.}
\end{wrapfigure}

Si al circuito RL estudiado anteriormente se conecta una fuente de tensión,
puede obtenerse un circuito como el de la Figura \ref{rl_tens}.  La
ecuación diferencial de este circuito estará dada por la ecuación
(\ref{ec_dif_rl_tens}).

\begin{equation}
\label{ec_dif_rl_tens}
L \frac{di(t)}{dt} + i(t) R = v(t)
\end{equation}

La solución de la ecuación homogénea será la misma que se encontró
previamente, es decir $i_H(t) = A e^{-t\frac{R}{L}}$.  Para resolver la
ecuación particular es necesario conocer $v(t)$.

\subsubsection{Respuesta al escalón}

Al igual que en el caso del capacitor y la fuente de corriente, si la
tensión de la fuente está dada por $v(t) = X u(t)$, la solución particular
para la corriente será $i_P(t) = K = \frac{X}{R} u(t)$.

De modo que la solución general será
$i(t) = \frac{X}{R} \left( 1 - e^{-t\frac{R}{L}} \right) u(t)$.

\section{Circuitos con condiciones iniciales y fuentes}

Un circuito como el de la Figura \ref{rc_corr} puede, además de estar
excitado por una fuente de corriente, tener una condición inicial no
nula para la tensión del capacitor.

La única diferencia que introduce esta condición inicial se produce al
hallar la constante $A$ que multiplica a la exponencial negativa.

Así, si se tiene que la tensión en el capacitor está dada por
$v(t) = \left( A e^{\frac{-t}{RC}} + RX \right) u(t)$, y la tensión inicial
en el capacitor es $V_0$, se puede obtener la constante $A$ a partir de la
ecuación para el instante $t=0$: $v(0) = A + RX = V_0$, de donde
$A=V_0 - RX$.

\begin{eqnarray}
\label{sep_tiempos} v(t) &=& \left[ \left( V_0 - RX \right)
e^{\frac{-t}{RC}} + RX \right] u(t)\\
\label{sep_resp} v(t) &=& \left[ V_0 e^{\frac{-t}{RC}} + \left( 1 -
e^{\frac{-t}{RC}} \right) RX \right] u(t)
\end{eqnarray}

La solución final de $v(t)$ puede expresarse de dos modos distintos.  El
primer término de la ecuación (\ref{sep_tiempos}) expresa el régimen
transitorio, mientras que el segundo término expresa el régimen permanente.

En el caso de la ecuación (\ref{sep_resp}), el primer término expresa la
respuesta a las condiciones iniciales, mientras que el segundo término
expresa la respuesta a la excitación de la fuente.

\subsection{Generalización para el escalón}

Cuando un circuito de primer orden está excitado por un escalón, y no tiene
llaves que actúen en el transcurso del tiempo analizado, se puede utilizar
una fórmula general para obtener la respuesta.

Se tiene un circuito cualquiera, y se busca una funcion $f(t)$ que está
definida por las ecuaciones (\ref{cabeza_1}) y (\ref{cabeza_2}).

\begin{eqnarray}
\label{cabeza_1} \frac{df(t)}{dt} + K f(t) &=& g(t) \\
\label{cabeza_2} g(t) &=& H u(t)
\end{eqnarray}

A continuación, se hace la deducción que permite encontrar el método
mecánico para resolver esta situación.

\begin{eqnarray}
f_H &=& A e^{-Kt} \\
f_P &=& \frac{H}{K} \\
f(t) &=& A e^{-Kt} + \frac{H}{K} \\
A &=& f(0) - \frac{H}{K} \\
f(t) &=& \left( f(0) - \frac{H}{K} \right) e^{-Kt} + \frac{H}{K}
\end{eqnarray}

El término $\frac{H}{K}$ representa el régimen permanente del circuito,
y por esta razón se lo llama $f(\infty)$.  El término $K$ es
equivalente a $1/\tau$. La ecuación (\ref{formula_cabeza}), entonces,
expresa el método mecánico a aplicar.

\begin{equation}
\label{formula_cabeza} f(t) = \left[ \left( f(0) - f(\infty) \right)
e^{-t/\tau} + f(\infty) \right] u(t)
\end{equation}

Una vez que se ha encontrado el coeficiente $\tau$ del circuito, si se
tienen las condiciones iniciales de la función y se puede analizar el
circuito para encontrar las condiciones finales del circuito, se puede
utilizar este método mecánico.

\subsubsection{Ejemplos}

Si se debe resolver un circuito como el de la Figura \ref{rc_tens}, es
posible utilizar la ecuación (\ref{formula_cabeza}), pero primero será
necesario encontrar el coeficiente $\tau$ del circuito y los valores
inicial y final de la tensión en el capacitor.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/rc_tens.tex}
\caption{\label{rc_tens} Un circuito RC con fuente de tensión.}
\end{figure}

Para encontrar el $\tau$ del circuito sin tener que buscar la ecuación
diferencial, se puede realizar el equivalente de Thevennin.  En este caso,
la resistencia de Thevennin es $R_{eq} = 20 \Omega$ y la tensión de
Thevennin es $v(t)=1.5 V$.  Con estos datos, el $\tau$ del circuito es
$\tau = R_{eq} C = 20$ y la tensión final es $v(\infty) = 1.5 V$.

De este modo, la ecuación que caracteriza la tensión del capacitor es
$v_C(t) = \left( V_C(0) - 1.5 V) e ^{-t/10} + 1.5V$.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/rc_tens2.tex}
\caption{\label{rc_tens2} Otro circuito RC con fuente de tensión.}
\end{figure}

De la misma manera, para el circuito de la Figura \ref{rc_tens2},
utilizando el equivalente de Thevennin es evidente que $\tau = 5$.

Si esta vez se quiere encontrar la expresión de la corriente $i_{R_1}$,
para el instante $t=0$ se debe considerar al capacitor como una fuente de
tensión, cuyo valor es la tensión inicial del capacitor, por ejemplo
$v_C(0) = - 3 V$.  De este modo, la corriente que circula por la
resistencia $R_1$ será
$i_{R_1}(0) = \frac{10 V - (-3 V)}{10 \Omega} = 1.3 A$.

Por otro lado, para el régimen permanente, cuando el capacitor se ha
cargado con la tension máxima posible, es equivalente a un circuito
abierto, por lo que la corriente que circula por la resistencia $R_1$ será
$i_{R_1}(\infty) = \frac{10 V}{20 \Omega} = 0.5 A$

Finalmente, la ecuación completa para la corriente será
$i_{R_1}(t) = (1.3 A- 0.5 A) e^{-t/5} + 0,5 A$.




