\chapter{Transformada de Laplace}

Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones de un circuito nos
permite analizar fácilmente la respuesta en frecuencia de ese
circuito.

\section{Definición y propiedades}

La transformada de Laplace $F(s)$ de la función $f(t)$ está dada por
la ecuación (\ref{eq:def_laplace}).

\begin{equation}
\label{eq:def_laplace}
{\cal L}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =
F(s) = \int_0^\infty{e^{-st} f(t) \partial t}
\end{equation}

Mientras que la anti-transformada está dada por la ecuación
(\ref{eq:def_anti_laplace}).
\begin{equation}
\label{eq:def_anti_laplace}
{\cal L}^{-1}\left\lbrace F(s)\right\rbrace =
f(t) = \int_0^\infty{e^{st} F(s) \partial t}
\end{equation}


\subsubsection{Linealidad}
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace Af_1(t) + Bf_2(t) \right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} ( Af_1(t) + Bf_2(t) \partial t} \\
&=& A F_1(s) + B F_2(s)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Desplazamiento en el tiempo}
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace f(t-a)\right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} f(t-a) \partial t} \\
&=& e^{-as} F(s)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Desplazamiento en frecuencia}
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace e^{at} f(t)\right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-(s-a)t} f(t) \partial t} \\
&=& F(s-a)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Escalamiento}
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace f(at)\right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} f(at) \partial t} \\
&=& \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Derivación}

La transformada de Laplace nos permite trabajar con derivadas de forma
alegebraica.  A continuación la deducción para la transformada de la
primera derivada.
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} f'(t) \partial t} \\
&=& \left. e^{-st} f(t) \right|_0^\infty + s
\int_0^\infty{e^{-st} f(t) \partial t} \\
\label{eq_laplace_derivada} &=& sF(s) - f(0)
\end{eqnarray}

La deducción para la segunda derivada es equivalente.
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace f''(t)\right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} f''(t) \partial t} \\
&=& s^2F(s) - sf(0) - f'(0)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Integración}

Al igual que con las derivadas, la transformada de Laplace nos permite
trabajar con las integrales de manera algebraica.
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace \int_0^t{f(\tau) \partial \tau} \right\rbrace
&=& \int_0^\infty{e^{-st} \left( \int_0^t{f(\tau) d\tau} \right) dt}\\
\label{eq_laplace_integral} &=& \frac{1}{s} F(s)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Teorema del valor inicial}
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0} f(t) = \lim_{s\rightarrow \infty} sF(s)
\end{equation}

\subsubsection{Teorema del valor final}
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s\rightarrow 0} sF(s)
\end{equation}

\subsubsection{Transformada de la convolución}
\begin{equation}
{\cal L}\left\lbrace \int_0^t{f_1(t-\tau)f_2(\tau) \partial \tau} \right\rbrace
= F_1(s) F_2(s)
\end{equation}

\section{Algunas transformadas comunes}

\subsubsection{Escalón unitario}
\begin{equation}
{\cal L} \left\lbrace u(t) \right\rbrace
= \int_0^\infty{ e^{-st} u(t) \partial t }
= \left. -\frac{1}{s} e^{-st} \right|_0^\infty
= \frac{1}{s}
\end{equation}

\subsubsection{Impulso unitario}
\begin{equation}
{\cal L}\left\lbrace \delta(t) \right\rbrace
= s {\cal L}\left\lbrace u(t) \right\rbrace - u(0^-)
= \frac{s}{s} - 0
= 1
\end{equation}

\subsubsection{Exponencial}
\begin{equation}
{\cal L}\left\lbrace e^{at}u(t) \right\rbrace
= \int_0^\infty{e^{-(s-a)t} u(t) dt}
= \frac{1}{s-a}
\end{equation}
Donde $a$ puede ser cualquier número complejo de la forma
$a=k+j\omega$. O directamente $a=j\omega$.

De hecho, la transformada de $e^{-j\omega t}u(t)$
($\frac{1}{s+j\omega}$) y la transformada de $e^{j\omega t}u(t)$
($\frac{1}{s-j\omega}$), pueden resultar muy útiles para resolver
circuitos de primer y segundo orden.

\subsubsection{Funciones senoidales}
Las transformadas del seno y el coseno pueden obtenerse a partir de la
transformada de la exponencial, utilizando la fórmula de Euler.
 \begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace \cos(\omega t)u(t) \right\rbrace
&=& {\cal L}\left\lbrace \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}
u(t) \right\rbrace \\
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-j\omega t} + \frac{1}{s+j\omega t}
\right)
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{s + j\omega + s - j\omega} {s^2-\omega^2}
\right) \\
{\cal L}\left\lbrace \cos(\omega t)u(t) \right\rbrace
&=& \frac{s}{s^2-\omega^2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace \sin(\omega t)u(t) \right\rbrace
&=& {\cal L}\left\lbrace \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}
u(t) \right\rbrace \\
= \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s-j\omega t} - \frac{1}{s+j\omega t}
\right)
&=& \frac{1}{2j} \left( \frac{s + j\omega - s + j\omega}
{s^2-\omega^2} \right) \\
{\cal L}\left\lbrace \sin(\omega t)u(t) \right\rbrace
&=& \frac{\omega}{s^2-\omega^2}
\end{eqnarray}

\section{Aplicación a circuitos}

\begin{wrapfigure}{o}[3.5cm]{3.5cm}
\centering
\input{circuitos/rl_tens.tex}
\caption{\label{fig:rl_lap} Un circuito RL de primer orden.}
\end{wrapfigure}

En un circuito RL de primer orden como el de la Figura
\ref{fig:rl_lap}, la ecuación de la malla estará dada por:
\begin{equation}
V(t) = L \frac{\partial i}{\partial t} + i(t) R
\end{equation}



Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la
ecuación:
\begin{eqnarray}
{\cal L}\left\lbrace V(t) \right\rbrace
&=& {\cal L}\left\lbrace L \frac{\partial i}{\partial t} + i(t) R
\right\rbrace \\
{\cal L}\left\lbrace V(t) \right\rbrace
&=& L \left( sI(s) - i(0^-) \right) + I(s) R
\end{eqnarray}

Si la entrada es $v(t) = u(t)$, se puede obtener una expresión para
la corriente:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{s} &=& I(s) ( sL + R) - L i(0^-) \\
\frac{1}{s} &=& I(s) ( sL + R) - L i(0^-) \\
I(s) &=& \frac{\frac{1}{s} + L i(0^-)}{sL + R} \\
I(s) &=& \frac{1}{s} \frac{1}{sL + R} + \frac{L i(0^-)}{sL + R}
\end{eqnarray}

Cada uno de los términos de $I(s)$ puede anti-transformarse para
obtener una expresión para $i(t)$.

Para el primer término:
\begin{eqnarray}
F_1(s) &=& \frac{1}{s} \frac{1}{sL + R} = \frac{1}{s}
\frac{1}{L\left(s + \frac{R}{L}\right)} \\
f_1(t) &=& \int_0^t{\frac{1}{L} - e^{-\frac{R}{L}\tau}d\tau} 
= \left.-\frac{1}{L}\frac{L}{R} - e^{-\frac{R}{L}\tau}\right|_0^t \\
&=& \frac{1}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) u(t) 
\end{eqnarray}

Mientras que para el segundo término:
\begin{eqnarray}
F_2(s) &=& \frac{L i(0^-)}{sL + R} = \frac{L i(0^-)}{L \left(s +
\frac{R}{L}\right)} \\
f_2(t) &=& i(0^-) e^{-\frac{R}{L}t} u(t)
\end{eqnarray}

De manera que la expresión general para $i(t)$ será:
\begin{equation}
i(t) = \left( \left( i(0^-) - \frac{1}{R} \right) e^{-\frac{R}{L}t}
+ \frac{1}{R} \right) u(t)
\end{equation}

\section{Cocientes de polinomios}

La transformada de Laplace resulta de suma utilidad cuando se tienen
expresiones de la forma:
\begin{equation}
F(s) = \frac{a_0 s^N + a_1 s^{N-1} + \ldots + a_n}
{b_0 s^M + b_1 s^{M-1} + \ldots + b_m}
\end{equation}
Es decir, un cociente de dos polinomios en $s$. \\

En principio, una vez que se obtiene una función de esta forma, se
necesita que el orden del numerador sea menor que el orden del
denominador, porque de esa manera se puede anti-transformar utilizando
las propiedades.

Si $N \geq M$, será necesario reducir el orden del polinomio, efectuando
una división de polinomios, de tal manera que:
\begin{equation}
F(s) = K_1 s^{N-M} + K_2 s^{N-M-1} + \ldots + K_{N-M} +
\frac{K}{b_0 s^M + \ldots + b_m}
\end{equation}
Donde $K_1$ es el resultado del primer cociente, $K_2$ el resultado
del segundo, y $K$ es el resto.

De esta forma, la anti-transformada de $F(s)$ será:
\begin{equation}
f(t) = C_{N-M} \delta(t) + C_{N-M+1} \delta'(t) + \ldots + C_1
\delta^{N-M}(t) + {\cal L}\left\lbrace \frac{K}{b_0 s^M
+ \ldots + b_m} \right\rbrace
\end{equation}

En el caso en que $N=M$, también es necesario dividir los
polinomios, pero en el resultado habrá una única $\delta(t)$.

\subsubsection{Ejemplo}

\begin{equation}
F(s) = \frac{2s^3 + 3s^2 + 5s +2}{s^2 +3s + 1}
\end{equation}

Dividiendo el númerador por el denominador se obtiene un cociente de
$2s -3$ y un resto de $12s + 5$.  De manera que $F(s)$ será:

\begin{equation}
F(s) = 2s -3 +\frac{12s + 5}{s^2 +3s + 1}
\end{equation}

Finalmente, cuando $N<M$, es necesario buscar las raíces del
denominador, que serán los polos de la transferencia. La función
tendrá la forma:
\begin{equation}
F(s) = \frac{N(s)}{s_0 (s - s_1) \ldots (s - s_M)}
\end{equation}
Donde $N(s)$ es un numerador, un polinomio de orden $N$.

\subsection{Raíces reales y diferentes}
En el caso en que las raíces $s_0 \ldots s_M$ sean todas reales y
diferentes, se puede separar la función por el método de fracciones
simples, de tal manera que:
\begin{equation}
F(s) = \frac{A}{s - s_1} + \frac{B}{s - s_2} + \ldots \frac{M}{s -
s_M}
\end{equation}

Los coeficientes, para tres raíces, se pueden encontrar de la
siguiente manera:
\begin{equation}
A = \frac{N(s_1)}{(s_1 - s_2)(s_1 - s_3)} \;\;
B = \frac{N(s_2)}{(s_2 - s_1)(s_2 - s_3)} \;\;
C = \frac{N(s_3)}{(s_3 - s_1)(s_3 - s_2)} \;\;
\end{equation}
Donde $N(s)$ es el numerador y $A$, $B$ y $C$ son números que no dependen de $s$.


\subsubsection{Ejemplo numérico}

\begin{eqnarray}
F(s) &=& \frac{3}{s^2 + 8s +15} = \frac{3}{(s + 3)(s + 5)} \\
&=& \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s + 5} \\
A &=& \frac{3}{-3+5} = \frac{3}{2} \\
B &=& \frac{5}{-5+3} = - \frac{3}{2} \\
F(s) &=& \frac{3}{2} \left( \frac{1}{s+3} + \frac{1}{s + 5} \right) \\
f(t) &=& \frac{3}{2} \left( e^{-3t} + e^{-5t} \right) u(t)
\end{eqnarray}

\subsubsection{Ejemplo en un circuito}

Un circuito capacitivo como el de la Figura \ref{fig:raices_reales},
estará caracterizado por las siguientes ecuaciones:
\begin{eqnarray}
V(t) &=& i(t) R_1 + V_A(t) + \frac{1}{C_2} \int_0^t{i(\tau) d\tau} +
i(t) R_3 \\
i(t) &=& i_{C1} + i_{R2} = C_1 \frac{d V_A(t)}{d t} + \frac{V_A}{R_2}
\end{eqnarray}
Donde $V_A$ es la tensión entre los bornes del capacitor $C_1$. 

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/rc_laplace.tex}
\caption{\label{fig:raices_reales} Un circuito con raíces reales.}
\end{figure}

Haciendo la transformada de Laplace en ambas ecuaciones, y operando
para obtener un cociente de polinomios:
\begin{eqnarray}
V(s) &=& I(s) R_1 + V_A(s) + \frac{1}{sC_2} I(s) + I(s) R_3 \\
&=& I(s) \left( R_1 + \frac{1}{sC_2} + R_3 \right) + V_A(s)\\
I(s) &=& sC_1 V_A(s) + \frac{V_A}{R_2} \\
V_A(s) &=& \frac{I(s)}{sC_1+ \frac{1}{R_2}} \\
V(s) &=& I(s) \left( R_1 + \frac{1}{sC_2} + R_3 \right) +
\frac{I(s)}{sC_1+ \frac{1}{R_2}} \\
V(s) &=& I(s) \left( R_1 + \frac{1}{sC_2} + R_3  +
\frac{1}{sC_1+ \frac{1}{R_2}} \right) \\
V(s) &=& I(s) \left( \frac{sC_2R_1 + 1  + sC_2R_3}{sC_2}  +
\frac{R_2}{sC_1R_2 + 1} \right) \\
V(s) &=& I(s) \left(
\frac{(sC_2R_1 + 1  + sC_2R_3) (sC_1R_2 + 1) + sC_2R_2}
{sC_2 (sC_1R_2 + 1)} \right)
\end{eqnarray}


\subsection{Raíces reales dobles}
Si una o más raíces se repiten, se trata de raíces dobles, en lugar de
simples.  Para hacer la separación en fracciones será necesario tener
en cuenta esta situación.

Por ejemplo, para un caso con una raíz doble $s_1$ y una raíz simple
$s_2$:
\begin{equation}
F(s) = \frac{A}{(s - s_1)^2} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}
\end{equation}

En este caso, los coeficientes, se pueden encontrar de la
siguiente manera:
\begin{equation}
A = \frac{N(s_1)}{(s_1 - s_2)} \;\;
B = \frac{\partial}{\partial s} \left. \frac{N(s)}{(s - s_2)} \right|_{s_1} \;\;
C = \frac{N(s_2)}{(s_2 - s_1)^2} \;\;
\end{equation}
Donde $N(s)$ es el numerador y $A$, $B$ y $C$ son números que no dependen de $s$.  Para el 
coeficiente $B$ es necesario hacer la derivada de la función, ya que de ese
modo se reduce el orden del polinomio.

En el caso en que hubiera una raíz triple, el procedimiento sería similar,
teniendo una fracción con denominador $(s - s_1)^3$, otra con denominador
$(s - s_1)^2$ y otra con denominador $(s - s_1)$.

\subsubsection{Ejemplo numérico}

\begin{eqnarray}
F(s) &=& \frac{1}{(s + 3)^2 (s + 2)} \\
&=& \frac{A}{(s+3)^2} + \frac{B}{(s+3)} + \frac{C}{s + 2} \\
A &=& \frac{1}{-3+2} = -1 \\
C &=& \frac{1}{-2+3} = 1 \\
\frac{\partial}{\partial s} \frac{1}{(s + 2)}  &=& - (s + 2)^{-2} \\
B &=& - (-3 + 2)^{-2} = -1 \\
F(s) &=& - \frac{1}{(s+3)^2} - \frac{1}{s+3} + \frac{1}{s + 2} \\
f(t) &=& \left( - t e^{-3t} - e^{-3t} + e^{-2t} \right) u(t)
\end{eqnarray}

\subsection{Raíces complejas conjugadas}
Para los circuitos que se estudien en esta materia, siempre que aparezca
un polo complejo en una función, aparecerá también su conjugado.

Por ejemplo, para un caso con dos polos $s_1$ y su conjugado
$s_1^*$:
\begin{equation}
F(s) = \frac{A}{s - s_1} + \frac{B}{s - s_1^*}
\end{equation}

En este caso, el coeficiente $A$ es conjugado de $B$, es decir $B = A^*$.
Además, $s_1 = \sigma_1 + j \omega$ y $s_1^* = \sigma_1 - j \omega$.  De 
esta manera, se pueden obtener las siguientes expresiones:

\begin{eqnarray}
A &=& \frac{N(s_1)}{(s_1 - s_1^*)} = \frac{N(s_1)}{2j\omega} \\
A^* &=& \frac{N(s_1)}{(s_1^* - s_1)} = - \frac{N(s_1^*)}{2j\omega} \\
F(s) &=& \frac{A (s - s_1^*) + A^* (s - s_1)}{(s - s_1)(s - s_1^*)} \\
&=& \frac{2A_{\Re} (s - \sigma_1) - 2 A_{\Im} \omega_1}
{(s-\sigma_1)^2 + \omega_1^2} \\
&=& \frac{2A_{\Re} (s - \sigma_1)}{(s-\sigma_1)^2 + \omega_1^2} 
- \frac{2 A_{\Im} \omega_1}{(s-\sigma_1)^2 + \omega_1^2} 
\end{eqnarray}

De esta manera, la función $f(t)$ estará dada por:
\begin{eqnarray}
f(t) &=& 2 A_{\Re} e^{\sigma_1 t} \cos(\omega t) -
2 A_{\Im} e^{\sigma_1 t} \sin(\omega t) \\
f(t) &=& e^{\sigma_1 t} \left( 2 A_{\Re} \cos(\omega t) -
2 A_{\Im} \sin(\omega t) \right) 
\end{eqnarray}



\subsection{Diagrama de polos y ceros}
\label{sec:polosyceros}

Se trata de un diagrama que permite tener una rápida idea de la función
que se está analizando.  Incluye los polos (raíces del denominador) y los
ceros (raíces del numerador).

Por ejemplo, el diagrama de la figura \ref{fig:polosyceros} podría
corresponder a una función $f(t) = 3 e^{-3t} + 18 e^{-6t}$,
o también a una función $g(t) = 1682 e^{-3t} + 2815 e^{-6t}$. \\

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{minipage}{4.3cm}
\centering
\input{graficos/polosyceros.tex}
\caption{\label{fig:polosyceros} Diagrama de polos y ceros. para $f(t)=e^{-3t} + e^{-6t}$}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{4.3cm}
\centering
\input{graficos/polosyceros_coseno.tex}
\caption{\label{fig:polosyceros_coseno} Diagrama de polos y ceros
para $f(t)=\cos(\omega t)$.}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{4.3cm}
\centering
\input{graficos/polosyceros_coseno2.tex}
\caption{\label{fig:polosyceros_coseno2} Diagrama de polos y ceros
para $\cos(\omega t + \alpha) e^{-At}$.}
\end{minipage}
\end{figure}

En el caso de la Figura \ref{fig:polosyceros_coseno}, la función será
$F(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$, que se puede antitransformar para
obtener la función $f(t) = \cos (\omega t)$.  Es decir que todo
diagrama de la forma del indicado en esa figura, corresponderá a una
función coseno. \\

Por otro lado, el diagrama de la Figura \ref{fig:polosyceros_coseno2},
está asociado a la función
$F(s) = \frac{s - \alpha}{(s-A)^2 + \omega^2}$, cuya anti transformada
será $f(t) = \cos (\omega t + \alpha) e^{-At}$.

Es decir que se trata de una función coseno desplazada y amortiguada. El
desplazamiento de los polos implica que se multiplica la función por
la exponencial $e^{-At}$, y el desplazamiento del cero implica un
corrimiento en la fase. \\


Como se deduce de este último ejemplo, al analizar un diagrama de
polos y ceros, los polos determinan la forma de la función, mientras
que los ceros determinan la fase.

Además, si los polos son puramente imaginarios, se trata de una
función sinusoidal cuya amplitud no está modulada por una exponencial.
Es decir, cuando los polos son puramente imaginarios se trata de un
régimen senoidal permanente.

\subsubsection{Polos reales y complejos}

Si la función a graficar es de la forma $F(s) = \frac{1}{s+a}$, se
trata de un polo en $-a$, pero si la función es de la forma
$F(s) = \frac{1}{s^2 + bs + c}$, es necesario buscar los ceros del
denominador para determinar qué tipo de polos son.

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\Alph{enumi})}
\item Para hacer este análisis, se puede utilizar otra notación, más
apropiada para analizar filtros.

\begin{equation}
F(s) = \frac{1}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q} s + \omega_0^2}
\end{equation}

Las raíces de esta ecuación estarán dadas por:
\begin{equation}
s_{1,2} = - \frac{\omega_0}{2Q} \pm \omega_0
\sqrt{\left(\frac{1}{2 Q}\right)^2 -1}
\end{equation}

De manera que analizando el término $\left(\frac{1}{2Q}\right)^2$ es
posible determinar el comportamiento general del circuito. \\


\begin{enumerate}
\item Si $\left(\frac{1}{2Q}\right)^2 > 1$, $Q < 1/2$ y las raíces son
reales y negativas.
\item Si $\left(\frac{1}{2Q}\right)^2 = 1$, $Q = 1/2$ y la raíz será
$-\frac{\omega_0}{2Q}$, es decir una raíz doble y negativa.
\item Si $\left(\frac{1}{2Q}\right)^2 < 1$, $Q > 1/2$ y las raíces
complejas conjugadas, dadas por la siguiente ecuación.
\begin{equation}
s_{1,2} = - \frac{\omega_0}{2Q} \pm j \omega_0
\sqrt{\left(1-\frac{1}{2 Q}\right)^2}
\end{equation}
\end{enumerate}


Para el caso de polos complejos conjugados, el ángulo que formen los
polos con el eje de los reales dependerá del valor de $Q$, cuando el ángulo
es de 45 grados, $Q = \sqrt{2}/2$, cuando el ángulo es de 90 grados,
$Q \rightarrow \infty$.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{graficos/polosyceros_circ}
\caption{\label{fig_polosyceros_circ} Circunferencia donde se ubican los polos y ceros complejos}
\end{figure} 

Como puede apreciarse en la Figura \ref{fig_polosyceros_circ}, 
si $Q$ varía, la distancia del polo al origen permanece constante.  Lo
único que cambia es la parte real del polo, que en los circuitos analizados
solamente puede ser negativa.

Analizar figuras como la Figura \ref{fig_polosyceros_circ} puede servir como referencia acerca del comportamiento que va a tener un determinado circuito, antes de resolverlo.



\item Otra notación que también puede utilizarse para analizar esta clase
de polinomios es la siguiente.

\begin{equation}
F(s) = \frac{ N(s) }{s^2 + 2 \sigma s + \omega_0^2}
\end{equation}

Esta segunda expresión puede también analizarse de la siguiente manera.
\begin{equation}
s^2 + 2 \sigma s + \omega_0^2 = (s + \sigma)^2 \underbrace{- \sigma^2 +
\omega_0^2}_{\omega_n^2} = (s + \sigma)^2 + \omega_n^2
\end{equation}
\end{enumerate}

\begin{wrapfigure}{o}[3.5cm]{3.5cm}
\centering
\input{graficos/polosyceros_sigma.tex}
\caption{\label{fig_polosyceros_sigma} Polo complejo, con $\omega_0^2
= \omega_n^2 + \sigma^2$}
\end{wrapfigure}

En el diagrama de polos y ceros, cuando se trata de un polo o cero
complejo, $\sigma$ es la parte real, $\omega_n$ es la parte
imaginaria y $\omega_0$ es el módulo, es decir $\omega_0^2
= \omega_n^2 + \sigma^2$. Esta relación se ilustra en la Figura 
\ref{fig_polosyceros_sigma}.


\subsubsection{Ejemplos numéricos}

\begin{enumerate}

\item
\begin{equation}
F(s) = \frac{3s}{s^2 + 5s + 100}
\end{equation}

Las raíces estarán dadas por:
\begin{equation}
s_{1,2} = - \frac{5 \pm \sqrt{25 - 400}}{2}
\end{equation}

De manera que se trata de dos polos complejos conjugados. Es posible
reformular la expresión y a continuación hacer la anti-transformada.

\begin{eqnarray}
F(s) &=& \frac{3s}{(s + 2.5)^2 + 93.75} \\
F(s) &=& 3 \frac{(s + 2.5) - 2.5}{(s + 2.5)^2 + 93.75} \\
f(t) &=& 3 \left[ e^{-2.5 t} \left( \cos{\sqrt{93.75}t} +
\frac{2.5}{\sqrt{93.75}} \sin{\sqrt{93.75}t} \right) \right] \\
f(t) &=& 3 e^{-2.5 t} \cos \left(\sqrt{93.75}t + \alpha \right)
\sqrt{1+ \frac{6.25}{93.75}}
\end{eqnarray}
Donde $\alpha = \arctan{\frac{2.5}{\sqrt{93.75}}}$

\item
\begin{eqnarray}
F(s) &=& \frac{s + 5}{s^2 + 4s + 25} \\
     &=& \frac{s + 2 + 3}{(s + 2)^2 + 21} \\
f(t) &=& e^{-2t} \left( \cos{\sqrt{21}t} + \frac{3}{\sqrt{21}}
\sin{\sqrt{21}t} \right)
\end{eqnarray}

\item
\begin{equation}
F(s) = \frac{15}{s^2 + 10s + 144}
\end{equation}

En esta ecuación $\omega_0 = 12$, $\omega_0 / Q = 10$, de donde $Q = 1.2 >
0.5$, es decir se trata de polos complejos conjugados, con $|\sigma| = 5$.
Es decir que la parte real del polo será de $-5$ y la parte compleja de
$\sqrt{119}$.

\item
\begin{equation}
F(s) = \frac{s^2 + 16s + 16}{s^2 + 40s + 100}
\end{equation}

En primer lugar, analizamos los ceros: $\omega_0 = 4$, $\omega_0 / Q = 16$
de donde $Q = 1/4$.  Es decir que los ceros son reales y negativos.

Para los polos, además, $\omega_0 = 10$, $\omega_0 / Q = 40$
de donde $Q = 1/4$.  Es decir que los polos también son reales y negativos.

Los valores de los ceros estarán dados por: $s_{1,2} = - \frac{16 \pm \sqrt{256
- 64}}{2} = -8 \pm \sqrt{48}$, mientras que los valores de los polos
estarán dados por: $s_{1,2} = - \frac{40 \pm \sqrt{1600
- 400}}{2} = -20 \pm \sqrt{300}$.

\section{Resolución de circuitos}

\subsection{Impedancias Operacionales}

Se llama {\it impedancia operacional}, a la impedancia que se le otorga a un
determinado elemento de circuito cuando se trabaja con la transformada de
Laplace.  Esta impedancia se obtiene a partir de aplicar la transformada de
Laplace a la ecuación que vincula la corriente y la tensión en el elemento. 

No se tienen en cuenta las condiciones iniciales, ya que la impedancia
operacional se aplica únicamente al régimen permanente. \\

\subsubsection{Resistores}
\begin{eqnarray}
v(t) &=& i(t) R \\
V(s) &=& I(s) R \\
Z_R(s) &=& R
\end{eqnarray}

\subsubsection{Capacitores}
\begin{eqnarray}
i(t) &=& C\frac{d v(t)}{dt} \\
I(s) &=& C \left( s V(s) - V(0) \right) \\
Z_C(s) &=& \frac{1}{sC}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Inductores}
\begin{eqnarray}
v(t) &=& L \frac{d i(t)}{dt} \\
V(s) &=& L \left( I(s) + I(0) \right) \\
Z_L(s) &=& sL
\end{eqnarray}

Al comparar estas impedancias con las utilizadas en el régimen senoidal permanente, resulta 
claro que $sL \Rightarrow j\omega L$, $1/sC \Rightarrow 1/j\omega C$.  Es decir, que si $s=j\omega$ 
se trata de un régimen senoidal permanente.  En el caso en que $s$ tiene parte real, puede tratarse de 
cualquier régimen.  
Es decir que, el análisis mediante fasores es un caso particular del análisis utilizando la 
transformada de Laplace.

\subsection{Circuito RLC serie}

\begin{figure}[hbt]
\centering
\input{circuitos/rlc_serie.tex}
\caption{\label{fig:rlcserie_laplace} Circuito RLC serie.}
\end{figure}

La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver un circuito como
el de la Figura \ref{fig:rlcserie_laplace}.  Para ello, en primer lugar,
planteamos el circuito y luego lo transformamos.

\begin{eqnarray}
v(t) &=& L \frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C} \int_0^t{i(\tau) d\tau} +
V_C(0) \\
V(s) &=& L \left(sI(s) - I(0)\right) + R I(s) + \frac{I(s)}{sC} +
\frac{V_C(0)}{C} \\
V(s) &=& I(s) \left( sL + R + \frac{1}{sC} \right)
\underbrace{- L I(0) + \frac{V_C(0)}{C}}_{\textrm{condiciones iniciales}}
\\
I(s) &=& V(s) \frac{- L I(0) + \frac{V_C(0)}{C}}{sL + R + \frac{1}{sC}} \\
\label{eq:laplace_corr_rlc_serie} I(s) &=& V(s) \frac{s}{L} \frac{- L I(0) + \frac{V_C(0)}{C}}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}
\end{eqnarray}

De la ecuación (\ref{eq:laplace_corr_rlc_serie}) se puede ver que los polos para la corriente $I(s)$ tendrán un $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ y un $Q = L/R \sqrt{LC}$.

Tomando condiciones
iniciales nulas, se puede buscar el valor de la tensión $V_R$ dada por:

\begin{eqnarray}
I(s) &=& \frac{V(s)}{sL + R + 1/sC} \\
V_R(s) &=& I(s) R \\
V_R(s) &=& \frac{V(s) R}{sL + R + 1/sC} \\
       &=& V(s) \frac{RsC}{s^2LC + sCR + 1} \\
       &=& V(s) \frac{RsC}{LC \left( s^2 + \frac{sR}{L} +
                \frac{1}{LC}\right)} \\
       &=& V(s) \frac{R}{L} \frac{s}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}
\end{eqnarray}

Para el caso en que $v(t) = u(t)$, se tiene que $V(s) = 1/s$ y
\begin{equation}
V_R(s) = \frac{R}{L} \frac{1}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}
\end{equation}

Los polos de esta ecuación son: $s_{1,2} = - \frac{ R/L  \pm \sqrt{
(R/L)^2 - 4/LC}}{2} = - \frac{R}{2L}  \pm \sqrt{
\frac{R^2}{4L^2} - \frac{1}{LC}}$.

Además, $\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}$ y $Q = \sqrt{\frac{C}{L}}R$

\end{enumerate}

\subsection{RLC Paralelo}

\begin{figure}[hbt]
\centering
\input{circuitos/rlc_paralelo.tex}
\caption{\label{fig:rlcparalelo_laplace} Circuito RLC paralelo.}
\end{figure}

Para resolver un circuito RLC paralelo como el de la Figura \ref{fig:rlcparalelo_laplace}, 
se plantea la ecuación de la suma de corrientes.

\begin{eqnarray}
I(s)&=&I_R(s) + I_L(s) + I_C(s) \\
I(s)&=& \frac{V(s)}{R} + \frac{V(s)}{sL} + V(s)sC \\
I(s)&=& V(s) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{sL} + sC \right)
\end{eqnarray} 

Ahora es posible encontrar una expresión para la tensión de salida $V(s)$:
\begin{eqnarray}
V(s)&=& \frac{I(s)}{\frac{1}{R} + \frac{1}{sL} + sC} \\
V(s)&=& \frac{I(s)sL}{s^2LC + \frac{sL}{R} + 1 } \\
V(s)&=& \frac{s}{C} \frac{I(s)}{s^2 + \frac{s}{CR} + \frac{1}{LC} }
\end{eqnarray} 

Si la fuente de corriente es $i(t)=u(t)$, $I(s) = 1/s$, y se toman condiciones iniciales nulas,
$V(s)$ será:
\begin{equation}
V(s)=\frac{1}{C} \frac{1}{s^2 + \frac{s}{CR} + \frac{1}{LC} }
\end{equation} 

Los polos de esta expresión, serán tales que $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ y 
$Q=RC/\sqrt{LC}$.

\subsection{Circuito con un amplificador operacional}

De la misma manera, se puede aplicar la transformada de Laplace para resolver circuitos más complejos 
como el de la Figura \ref{fig:op_laplace}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/op_laplace.tex}
\caption{\label{fig:op_laplace} Circuito de segundo orden.}
\end{figure} 

Se plantean las ecuaciones para cada uno de los nodos del circuito.
\begin{eqnarray}
\left. V^- \right) && V_B(s)= V_O (s) \frac{R_4}{R_4 + R_3} = V_O(s) K_1 \\
\left. V^+ \right) && 0 = V_B(s) \left(sC_2 + \frac{1}{R_2} \right) - V_A(s) sC_2 \\
\left. V^A \right) && 0 = V_A \left(sC_1 + sC_2 + \frac{1}{R_1}\right) - V_I(s) sC_1 - \frac{V_O(s)}{R_1} - V_B(s)sC_2
\end{eqnarray}

Se puede buscar una expresión para $V_A(s)$.
\begin{eqnarray}
V_A(s) sC_2 &=& V_O(s) K_1 \left(sC_2 + \frac{1}{R_2}\right) \\
V_A(s) &=& V_O(s) \frac{K_1 \left(sC_2 + \frac{1}{R_2}\right)}{sC_2}
\end{eqnarray}

Y se busca la expresión para $V_O(s)$ en función de $V_I(s)$.
\begin{eqnarray}
V_I(s) sC_1 &=& V_A(s) \left(sC_1 + sC_2 + \frac{1}{R_1}\right) - V_O(s) \left( \frac{1}{R_1} - K_1sC_2 \right)   \\
V_I(s) sC_1 &=& V_O(s) \left( \frac{K_1 \left(sC_2 + \frac{1}{R_2}\right)}{sC_2} \left(sC_1 + sC_2 + \frac{1}{R_1}\right) - \frac{1}{R_1} + K_1sC_2 \right) \\
V_O(s) &=&  \frac{V_I(s) sC_1}{ \frac{K_1 \left(sC_2 + \frac{1}{R_2}\right)}{sC_2} \left(sC_1 + sC_2 + \frac{1}{R_1}\right) - \frac{1}{R_1} + K_1sC_2}
\end{eqnarray} 

\section{Transferencia operacional}

La transferencia está dada por:
\begin{equation}
T(s) = \frac{V_S(s)}{V(s)}
\end{equation}

Donde $V(s)$ es la tensión de entrada y $V_S(s)$ es la tensión de salida.

Al hablar de transferencia {\bf no se tienen en cuenta las condiciones
iniciales}, ya que solamente se tiene en cuenta el régimen permanente.

Si $V(s) = 1$ (un impulso) la respuesta dependerá únicamente del circuito,
no se puede establecer una transferencia.

Las transferencias serán siempre un cociente de dos polinomios con variable
$s$.

Por el teorema de la convolución, si se tiene la transferencia $T(s)$ de un circuito,
se puede obtener la transferencia $T(t)$ del circuito y convolucionarla con la función 
de entrada para obtener la salida.

\subsection{Divisor de tensión}

\begin{wrapfigure}{o}[3.5cm]{3.5cm}
\centering
\input{circuitos/divisor_tension_oper.tex}
\caption{\label{fig:divisor_tension_oper} Un divisor de tensión de impedancias operacionales.}
\end{wrapfigure}

Si se tiene un divisor de tensión como el de la Figura \ref{fig:divisor_tension_oper},
donde las impedancias son $Z_1(s)$ y
$Z_2(s)$ (es decir, pueden ser capacitivas, inductivas y/o resistivas), la
transferencia sobre $Z_2$ estará dada por

\begin{equation}
\label{eq:transf_div_tens} T(s) = \frac{V_O(s)}{V_I(s)} = \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}
\end{equation}






