\section{Funciones básicas}

En el análisis de circuitos es importante conocer una serie de
funciones básicas, que permiten estudiar el comportamiento de un
circuito ante determinadas excitaciones.

Estas funciones se suelen estudiar en materias de análisis matemático.
Esta sección consiste únicamente de un repaso general de las funciones que
se utilizarán en muchos de los circuitos.

\subsection{Escalón}

La función {\it escalón} se define según la ecuación (\ref{escalon}).

\begin{equation}
\label{escalon} u(t) =  \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t < 0 \\
   1 & t > 0
   \end{array}
\right.
\end{equation}

Es decir, al utilizar esta ecuación se supone que hasta el
momento de hacer los ensayos no había variación de variables.

Para compensar esta hipótesis debemos tener en cuenta las condiciones
iniciales.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{graficos/escalon.tex}
\caption{\label{func_escalon} tres posibles funciones escalón}
\end{figure}

La función escalón puede ser manipulada de tal forma que los valores
distintos de cero comiencen a partir de un determinado $t_0$, y
también, que tome otro valor distinto de $1$.  Como por ejemplo las
indicadas por las ecuaciones (\ref{escalon2}) y (\ref{escalon3}).

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
\begin{displaymath}
\label{escalon2} 2u(t-t_0) =  \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t < t_0 \\
   2 & t > t_0
   \end{array}
\right.
\end{displaymath}
&
\begin{displaymath}
\label{escalon3} -u(t_0 - t) =  \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t > t_0 \\
   -1 & t < t_0
   \end{array}
\right.
\end{displaymath}
\end{tabular}

En la Figura \ref{func_escalon}, podemos ver las tres funciones
escalón recién mencionadas.

\subsection{Pulsos}

Un {\it pulso} es una duración limitada de una función escalón.  Puede
obtenerse mediante la resta o el producto de dos funciones escalón,
según se expresa en la ecuación (\ref{pulso}).

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/pulso.tex}
\caption{\label{pulso} un pulso de ancho $t_0$.}
\end{wrapfigure}

\begin{equation}
u(t) - u(t - t_0) = u(t) u(t_0 -t)
\end{equation}

\subsection{Rampa}

La función {\it rampa} se define según la ecuación (\ref{rampa}).

\begin{equation}
\label{rampa} r(t) =  t u(t)  = \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t < 0 \\
   t & t > 0
   \end{array}
\right.
\end{equation}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/rampa.tex}
\caption{\label{func_rampa} función rampa.}
\end{wrapfigure}

Se puede ver que al efectuar la derivada de la función rampa
se obtiene la función escalón.

\begin{equation}
\frac{d (t u(t)}{dt} = u(t)
\end{equation}

\subsection{Parábola}

La función {\it parábola} se define según la ecuación (\ref{parabola}).

\begin{equation}
\label{parabola} p(t) =  t^2 u(t)  = \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t < 0 \\
   t^2 & t > 0
   \end{array}
\right.
\end{equation}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/parabola.tex}
\caption{\label{func_parabola} función parabola.}
\end{wrapfigure}

También se puede ver que al efectuar la derivada de la función
parábola se obtiene la función rampa, mientras que al efectuar la
segunda derivada se obtiene la función escalón.

\begin{eqnarray}
\frac{d (t^2 u(t))}{dt} & = & t u(t) \\
\frac{d^2 (t^2 u(t))}{dt^2} & = & u(t)
\end{eqnarray}

De esta manera, si conocemos el comportamiento del circuito frente al
escalón, podemos obtener muy facilmente el comportamiento frente a la
integral del escalón (función rampa) y frente a la doble integral del
escalón (función parábola).

\subsection{Impulso}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/impulso_pulso.tex}
\caption{\label{limite_delta} la distribución delta de dirac como un
límite con $\epsilon \rightarrow 0$.}
\end{wrapfigure}

El {\it impulso} no es una función en el sentido estricto de la
matemática, sino que es una {\it función singular}.  También recibe el
nombre de {\it delta de Dirac}.

Se trata de límite que se obtiene al reducir el ancho y aumentar el
alto de un rectángulo, de tal forma que su área sea constantemente
$1$, como se ilustra en la figura \ref{limite_delta}. \\

La distribución, entonces, se define por dos condiciones, según lo
expresa la ecuación (\ref{delta}).

\begin{equation}
\label{delta} \delta (t)  : \left\{
   \begin{array}{lc}
   \delta(t) = 0 & t <> 0 \\
    \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) dt} = 1&
   \end{array}
\right.
\end{equation}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/delta.tex}
\caption{\label{func_delta} dos impulsos posibles.}
\end{wrapfigure}

Además, la delta de Dirac puede multiplicarse por una constante ($k
\delta (t) $), de tal forma que su valor siga siendo cero para todo
$t$ distinto de $0$, pero el valor del área encerrada sea $k$.

También, puede utilizarse un desplazamiento ($\delta (t - t_0)$) para
lograr que el impulso valga cero para todo $t$ distinto de $t_0$.\\

Por otro lado, es importante notar que la delta de Dirac se puede
obtener como la derivada de la función escalón, como lo indica la
ecuación (\ref{derivada_escalon}). Y su singularidad en el punto $t =
0$ puede atribuirse a que la función escalón no es derivable en ese
punto.

\begin{equation}
\label{derivada_escalon} \delta(t) = \frac{du(t)}{dt}
\end{equation} \\

Físicamente es imposible generar un impulso de altura infinita y ancho
nulo, sin embargo se puede utilizar la delta de Dirac como una
aproximación a un impulso real.

En el análisis de circuitos, la presencia de un impulso en la función
suele indicar un cambio en las condiciones iniciales del problema.

\subsection{Doblete}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/doblete.tex}
\caption{\label{func_doblete} representación gráfica del doblete.}
\end{wrapfigure}

La delta de Dirac es la primera en una familia de infinitas funciones
singulares.  Se denomina {\it doblete} a la función singular que se
obtiene al derivar el impulso, o lo que es lo mismo, al derivar dos
veces el escalón.

\subsection{Exponencial}

Una función que no está directamente relacionada con la familia de
funciones del escalón, es la función {\it exponencial}, expresada por
la ecuación (\ref{exponencial}).

\begin{equation}
\label{exponencial} exp(t) = k e^t u(t) \left\{
   \begin{array}{lc}
   0 & t < 0 \\
   k e^t & t > 0
   \end{array}
\right.
\end{equation}

Es importante notar que tanto la derivada como la integral de la
función exponencial, son también una función exponencial.

De esta manera, la función exponencial es la única que no cambia de
forma cuando es aplicada a circuitos lineales.
