\chapter{Régimen Senoidal Permanente}

Cuando a un circuito cualquiera se lo somete a una excitación de tipo
senoidal, la respuesta permanente tendrá la forma general
$A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)$, o bien
$F \cos (\omega t + \phi)$.

Para analizar el régimen permanente de circuitos sometidos a este tipo de
excitación se utiliza una técnica que permite no tener que realizar las
ecuaciones diferenciales para obtener la respuesta. \\

\section{Definiciones generales}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/fasor.tex}
\caption{un fasor, con su parte real e imaginaria.}
\end{wrapfigure}

Se denomina {\bf fasor} a un segmento orientado, que gira con velocidad
angular $\omega$, alrededor del centro de coordenadas.

\begin{eqnarray}
f(t) &=& F \cos (\omega t + \phi) \\
\label{funcion_fasorial}
F e^{j (\omega t + \phi)} &=& F \left( \cos (\omega t + \phi) + j \sin
(\omega t + \phi) \right) \\
f(t) &=& F e^{j (\omega t + \phi)} + F e^{-j (\omega t + \phi)}
\end{eqnarray}

\subsection{Impedancia compleja}

Si se define un fasor $V$ para la tensión en un elemento, y otro fasor $I$
para la corriente en ese elemento, es posible encontrar la impedancia
correspondiente a ese elemento como $Z = \frac{V}{I}$.

Si ambos fasores tienen una misma frecuencia $\omega$, la diferencia
angular entre ellos permanecerá constante.

Se llama {\bf reactancia} a la parte imaginaria de una impedacia compleja,
y {\bf resistencia} a la parte real.  La inversa de la impedancia es la
{\bf admintancia}, mientra que la inversa de la reactancia es
la {\bf susceptancia}.


\subsection{Impedancia compleja en el Resistor}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/impedancia_r.tex}
\caption{\label{circ_impedancia_r} Tensión y corriente en un resistor.}
\end{wrapfigure}

Para un circuito como el de la figura \ref{circ_impedancia_r},
Se define $v(t) = V_{\max} e^{j \phi} e^{j \omega t}$, de modo que la
corriente será $i(t) = \frac{V_{\max}}{R} e^{j \phi} e^{j \omega t}$

Por otro lado, en forma fasorial, $V = V_{\max} e^{j \phi}$, y
$I = \frac{V_{\max}}{R} e^{j \phi}$

Como se puede apreciar, en el caso del resistor, la corriente y la tensión
permanencen en fase, ya que tienen una misma frecuencia $\omega$ y se
diferencian únicamente en un factor de escala. \\

La impedancia compleja del resistor estará dada por la ecuación
(\ref{impedancia_r}).

\begin{equation}
\label{impedancia_r} Z_R = R
\end{equation}

\subsection{Impedancia compleja en el Capacitor}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/impedancia_c.tex}
\caption{\label{circ_impedancia_c} Tensión y corriente en un capacitor.}
\end{wrapfigure}

Para un circuito como el de la figura \ref{circ_impedancia_c},
Se define $v(t) = V_{\max} e^{j \phi} e^{j \omega t}$, de modo que la
corriente será
$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt} = j \omega C V_{\max} e^{j \phi} e^{j \omega t}$.

Mientras que el fasor de la tensión será $V = V_{\max} e^{j \phi}$ y el de
la corriente será $I = j \omega C V_{\max} e^{j \phi}$. \\

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/fasor_ivc.tex}
\caption{\label{graf_fasor_ivc} Diagrama fasorial de la tensión y
la corriente en un capacitor.}
\end{wrapfigure}

Teniendo en cuenta que es posible escribir $j = e^{j \pi / 2}$, la
corriente se puede expresar como
$I = \omega C V_{\max} e^{j \phi + \pi /2}$.  Es decir que la corriente en
el capacitor {\bf adelanta} a la tensión en $\pi /2$.

Es importante recordar que esto vale para el régimen permanente.  No quiere
decir que durante el transitorio empiece a circular la corriente antes que
la tensión, sino que durante el permanente, la fase de la corriente está
adelantada en $\pi/2$. \\

La impedancia compleja del capacitor estará dada por la ecuación
(\ref{impedancia_c}).

\begin{equation}
\label{impedancia_c} Z_C = \frac{-j}{\omega C}
\end{equation}

Dado que la impedancia es imaginaria pura, es evidente que la reactancia es
$X_C = \frac{-1}{\omega C}$ y la resistencia es nula.

\subsection{Impedancia compleja en el Inductor}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/impedancia_l.tex}
\caption{\label{circ_impedancia_l} Tensión y corriente en un inductor.}
\end{wrapfigure}

Para un circuito como el de la figura \ref{circ_impedancia_l},
Se define $v(t) = V_{\max} e^{j \phi} e^{j \omega t}$, de modo que la
corriente será
$i(t) = \frac{1}{L} \int{ v(\tau) d\tau} + i(0)$, el último término
($i(0)$), no se considera en este análisis ya que afecta al régimen
transitorio y no al permanente.

\begin{eqnarray}
i(t) &=& \frac{1}{L} V_{\max} e^{j \phi} \int{ e^{j \omega t} dt} \\
i(t) &=& \frac{1}{j \omega L} V_{\max} e^{j \phi} e^{j \omega t}
\end{eqnarray}

Mientras que el fasor de la tensión será $V = V_{\max} e^{j \phi}$ y el de
la corriente será $I = \frac{1}{j \omega L} V_{\max} e^{j \phi}$. \\

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/fasor_ivl.tex}
\caption{\label{graf_fasor_ivl} Diagrama fasorial de la tensión y
la corriente en un inductor.}
\end{wrapfigure}

Teniendo en cuenta que es posible escribir $1/j = e^{- j \pi / 2}$, la
corriente se puede expresar como
$I = \omega C V_{\max} e^{j \phi - \pi /2}$.  Es decir que la corriente en
el inductor {\bf atrasa} a la tensión en $\pi /2$.

Al igual que en el caso del capacitor, no hay que olvidar que
esto vale únicamente para el régimen permanente. \\

La ecuación (\ref{impedancia_l}) indica el valor de
la impedancia compleja del inductor.

\begin{equation}
\label{impedancia_l} Z_L = j \omega L
\end{equation}

Como en el caso del capacitor, dado que la impedancia es imaginaria pura,
es evidente que la reactancia es $X_L = \omega L$ y la
resistencia es nula.

\subsection{Generalización}

Se puede generalizar el comportamiento de la corriente de los tres
componentes, en función de la tensión. O también, el comportamiento de la
tensión en función de la corriente.  Esto se ilustra en las figuras
\ref{graf_fasor_civil} y \ref{graf_fasor_lvivc}.

\begin{figure}[htp]
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
  \begin{center}
    \input{graficos/fasor_civil.tex}
    \caption{\label{graf_fasor_civil} Fasores de corriente en función del
                fasor tensión.}
   \end{center}
\end{minipage}
  \hfill
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
  \begin{center}
    \input{graficos/fasor_lvivc.tex}
    \caption{\label{graf_fasor_lvivc} Fasores de tensión en función del
                fasor corriente.}
  \end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

Como ya se dijo más de una vez, todo este análisis es válido únicamente
para régimen senoidal permanente.

\section{Análisis del circuito RLC}

Para un circuito como el de la figura \ref{circ_rlc_serie}, si la
alimentación de la fuente está dada por $v(t) = V cos (\omega t)$, se puede
definir una función compleja cuya parte real sea $v(t)$:
$V e^{j \omega t}$, de forma que la corriente del circuito estará dada por
$i(t) = \mathrm{Re}( I e^{-j ( \omega t + \phi )} )$.

Es posible con este nuevo método plantear y resolver la malla del circuito
en forma fasorial, sin necesidad de utilizar las ecuaciones diferenciales.

\begin{eqnarray}
V e^{j \omega t} &=& R I e^{j \omega t} + L j \omega I e^{j \omega t} +
\frac{1}{j \omega C} I e^{j \omega t} \\
V e^{j \omega t} &=& I e^{j \omega t} \left( R + j \omega L + \frac{1}{j
\omega C} \right) \\
V &=& I \left( R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \right) \\
I &=& \frac{V}{R + j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)}
\end{eqnarray}

Una vez obtenida la expresión compleja para el fasor $I$, es posible
multiplicarla por le conjugado para obtener su parte real.