\chapter{Elementos de circuito}

\section{Resistores}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/resistor.tex}
\caption{resistor y sentidos de referencia asociados}
\end{wrapfigure}

La resistencia eléctrica de un elemento consiste en su capacidad de disipar
energía eléctrica en forma de calor.  Está relacionada con las
características de material, forma y tamaño del elemento.

Se denomina resistor al elemento cuya propiedad eléctrica predominante es la
resistencia.  Presenta una relación formal entre la tensión y la corriente,
dada por la {\bf Ley de Ohm}:

\begin{equation}
\label{ohm}
R = \frac{v(t)}{i(t)}
\end{equation}

La unidad de la resistencia es el ohm ($\Omega$). \\

La inversa de la resistencia es la conductancia.  Cuya unidad internacional es
el siemens (S), pero generalmente se utiliza el mho ($\mho$).

\begin{equation}
G = \frac{1}{R} = \frac{i(t)}{v(t)}
\end{equation}


\subsection{Relación entre la corriente y la tensión}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/resistencia.tex}
\caption{\label{curva_resistencia} comportamiento del resistor.}
\end{wrapfigure}

Teniendo en cuenta la curva graficada en la figura
\ref{curva_resistencia}, el valor de la resistencia estará dado por
$R = \tan{\alpha}$.  A medida que aumenta el valor de la resistencia, la
pendiente de la recta se hace mayor.

Cuando $\alpha = \frac{\pi}{2}$, la conductancia es cero. Es decir, no circula
corriente.  A esta situación la llamamos {\bf circuito abierto}.

Cuando $\alpha = 0$, la resistencia es cero.  Es decir que, para cualquier
corriente circulante, la diferencia de potencial será siempre nula.  A esta
situación la llamamos {\bf cortocircuito}. \\

No existen elementos que tengan una resistencia negativa.  Sin
embargo, pueden construirse circuitos que se comporten como si
su resistencia fuera negativa.

\subsection{Energía y Potencia}

La energía en un resistor está dada por:

\begin{equation}
\omega = \int_{-\infty}^t {p(\tau) d\tau}
       = \int_{-\infty}^t {v(\tau) i(\tau) d\tau}
       = \int_{-\infty}^t {i^2(\tau)R d\tau}
\end{equation}

Esta integral será siempre positiva.  Por lo que es posible comprobar que
los resistores son elementos pasivos.

Además, dado que la potencia es siempre positiva, los resistores son siempre
disipativos.  Es decir que no pueden acumular energía en ningún instante de
tiempo.  Toda la energía recibida será disipada en forma de calor.

La capacidad de disipar calor de un determinado resistor está relacionada con
la potencia que se vaya a utilizar en el circuito.
Si la potencia llegara a ser mayor a la estipulada,
podría dañarse el elemento.

\subsection{Resistores en Serie}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/resistores_serie.tex}
\caption{\label{resistores_serie} resistores en serie}
\end{wrapfigure}

Como se explicó en la sección \ref{conexiones}, en una conexión serie ambos
elementos comparten la misma corriente.

Para obtener la resistencia equivalente para esta conexión\footnote{Se dice
que dos redes son equivalentes en un par de terminales si las relaciones de
tensión y corriente en ambas redes son iguales en estos terminales},
se considera un circuito con dos resistores en serie a los que se
aplica una diferencia de potencial, como se grafica en la Figura
\ref{resistores_serie}.

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
\begin{eqnarray*}
v(t) & = & v_1(t) + v_2(t) \\
v(t) & = & i(t) R_1 + i(t) R_2 \\
v(t) & = & i(t) (R_1 + R_2) \\
\frac{v(t)}{i(t)} & = & R_1 + R_2 = R_{eq}
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
i_1(t) & = & i_2(t) = i(t) \\
v_1(t) & = & i(t) R_1 \\
v_2(t) & = & i(t) R_2  \\
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

Es decir que, al conectar los resistores en serie, la resistencia
equivalente está dada por la suma de las resistencias. La ecuación
(\ref{Req}) expresa esta relación para $n$ resistores.

\begin{equation}
\label{Req} R_{eq} = \sum_{i=0}^n{R_i}
\end{equation}

\subsection{Resistores en Paralelo}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/resistores_paralelo.tex}
\caption{\label{resistores_paralelo} resistores en paralelo}
\end{wrapfigure}

Como ya se vio anteriormente, para dos elementos conectados en paralelo, la
caída de potencial es la misma.

Se buscará a continuaciôn la resistencia equivalente de conectar dos resistores en
paralelo a una fuente de tensión $v(t)$.

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
\begin{eqnarray*}
i(t) & = & i_{R_1}(t) + i_{R_2}(t) \\
i(t) & = & \frac{v(t)}{R_1} + \frac{v(t)}{R_2} \\
i(t) & = & v(t) (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) \\
\frac{i(t)}{v(t)} & = & \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_{eq}} \\
\frac{i(t)}{v(t)} & = & G_1 + G_2 = G_{eq}
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
v_{R_1}(t) & = & v_{R_2}(t) = v(t) \\
i_{R_1}(t) & = & \frac{v(t)}{R_1} \\
i_{R_2}(t) & = & \frac{v(t)}{R_2}
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

Es decir que, al conectar los resistores en paralelo, la conductancia
equivalente está dada por la suma de las conductancias.
La ecuación (\ref{Geq}) expresa esta relación para $n$ resistores.

\begin{equation}
\label{Geq} G_{eq} = \sum_{i=0}^n{G_i}
\end{equation}

Es decir que la inversa de la resistencia equivalente está dada por la suma de
las inversas de las resistencias.

\begin{equation}
\frac{1}{R_{eq}} = \sum_{i=0}^n{\frac{1}{R_i}}
\end{equation}

\section{Fuentes}

En el análisis de circuitos se utilizan fuentes de tensión y de corriente.
Ambos tipos de fuentes pueden ser independientes o controladas.

Las {\bf fuentes independientes} son aquellas que entregan siempre el mismo
valor, sin importar lo que suceda en el resto del circuito.

Las {\bf fuentes controladas} son aquellas en las cuales el valor que entregan
depende de una variable del circuito.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuentes_tension.tex}
\caption{fuentes de tensión.}
\end{wrapfigure}

\subsection{Fuentes Ideales}

Se analizan a continuación las fuentes ideales de tensión y corriente, sean independientes o controladas.  Las fuentes ideales son aquellas que son capaces de entregar tanta potencia como sea necesario, sin variar la tensión o corriente entregada, según corresponda.

\subsubsection{Fuente independiente de tensión}

Una fuente independiente de tensión es un elemento de circuito de dos
terminales, capaz de entregar una diferencia de potencial determinada,
independientemente de la corriente que circula por ella y del resto del
comportamiento del circuito.

Una fuente de tensión está {\it en vacío} cuando sus terminales están
abiertos.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuentes_corriente.tex}
\caption{fuentes de corriente.}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{Fuente independiente de corriente}

Una fuente independiente de corriente es un elemento de circuito de dos
terminales, tal que la corriente que circula a través de él es independiente
de la diferencia de potencial entre los terminales.

Una fuente de corriente está {\it en vacío} cuando sus terminales están
en cortocircuito.

\subsection{Fuentes Reales}

En la realidad, las fuentes no son realmente independientes, y la potencia que pueden entregar está limitada a cierto rango de valores.  Sin embargo, para
determinados valores podemos considerar que el comportamiento de una fuente real
y el de una fuente ideal son similares.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuente_real_tension.tex}
\caption{fuente real de tensión.}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{Fuente real de tensión}

Una primera aproximación para representar una fuente real de tensión,
consiste en agregar una resistencia en serie con la fuente.  Esta
resistencia equivale a la resistencia interna de la fuente y permitirá
calcular el valor real de la tensión a la salida de la fuente.

\begin{equation}
v(t) = v_0(t) + Ri(t)
\end{equation}

Con este modelo de representación es posible apreciar que la tensión
entregada por la fuente dependerá de la corriente que circule por ella.
Por otro lado, cuanto más pequeña sea la resistencia interna de la fuente,
más se aproximará su comportamiento al de una fuente ideal.

Cuando la fuente real de tensión está en vacío, no circula corriente y por
lo tanto la potencia entregada por la fuente es nula.

\subsubsection{Fuente real de corriente}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuente_real_corriente.tex}
\caption{fuente real de corriente.}
\end{wrapfigure}

Para aproximar una fuente real de corriente, se añade una conductancia en
paralelo a la fuente.  De esta forma, la corriente que la fuente es capaz de
entregar depende de la tensión en sus extremos, según la siguiente
ecuación.

\begin{equation}
i(t) = i_0(t) - Gv(t)
\end{equation}

Este modelo es equivalente al anterior, y de la misma manera, cuanto menor sea
G, más se aproximará al comportamiento de una fuente ideal de corriente.

En el caso de una fuente real de corriente, al tener una conductancia en
paralelo, aún si la fuente está en vacío circula corriente por esa
conductancia, de tal forma que la potencia total disipada es: $p(t) =
\frac{1}{G}i_0^2(t)$.

\subsubsection{Comparación entre fuentes ideales y reales}

\begin{figure}[htb]

\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
  \begin{center}
    \input{graficos/comparacion_fuentes_tension.tex}
    \caption{\label{curva_fuente_tension} comparación entre una fuente
ideal y una real de tensión}
   \end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
  \begin{center}
    \input{graficos/comparacion_fuentes_corriente.tex}
    \caption{\label{curva_fuente_corriente} comparación entre una fuente
ideal y una real de corriente.}
  \end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

Al comparar una fuente ideal con una fuente real de tensión, si
trazamos las curvas indicadas en la figura
\ref{curva_fuente_tension} podemos ver que la pendiente de la recta está
dada por: $\tan \alpha = R$.

El punto de
cruce en el comportamiento de las dos se da  cuando la corriente total es cero,
es decir, cuando la fuente está en vacío. Mientras que la corriente de
corto circuito será $i(t) = \frac{-v_0(t)}{R}$. \\

Al comparar una fuente ideal con una fuente real de corriente,
trazando las curvas indicadas en la figura \ref{curva_fuente_corriente}
podemos ver que la pendiente de la recta esta vez estará dada por: $\tan
\beta = \frac{1}{G}$.

El punto de
cruce en el comportamiento de las dos se da cuando la tensión total es cero,
es decir, cuando la fuente está en cortocircuito.
Mientras que la diferencia de potencial en vació será
$v(t) = \frac{-i_0(t)}{G}$. \\

El modelo que vayamos a utilizar en un determinado circuito, dependerá del
comportamiento que tenga la fuente.  Cuando la pendiente de la recta sea
cercano a cero, se tratará de una fuente de tensión.  Cuando la pendiente
se aproxime a infinito se tratará de una fuente de corriente.

\subsection{Conexión de fuentes}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_tension_serie.tex}
\caption{Fuentes de tensión en serie.}
\end{wrapfigure}

Se analiza a continuación la posibilidad de conectar fuentes de tensión en serie y paralelo, el equivalente para fuentes ideales de cada una de estas conexiones y el equivalente utilizando fuentes reales cuando sea necesario.

\subsubsection{Fuentes de tensión en serie}

Las fuentes de tensión pueden ser conectadas en serie, sin importar los valores
de tensión entregados por cada una de las fuentes.  De tal manera que la
tensión total obtenida estará dada por la siguiente ecuación.

\begin{equation}
v(t) = v_1(t) + v_2(t)
\end{equation}

\subsubsection{Fuentes de tensión en paralelo}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_tension_paralelo.tex}
\caption{Fuentes de tensión en paralelo.}
\end{wrapfigure}

Para conectar fuentes de tensión en paralelo se debe estar seguro de que
todas las fuentes que se estén conectado sean capaces de entregar la misma
diferencia de potencial.

\begin{equation}
v(t) = v_1(t) = v_2 (t)
\end{equation}

Si esta condición no se cumpliera, no será posible conectar esas fuentes en paralelo.

Esta limitación debe tenerse en cuenta únicamente para el caso de las fuentes
ideales, ya que para las fuentes reales las resistencias internas permiten que
el potencial entregado por cada una de ellas sea distinto.

A continuación, las ecuaciones relacionadas con la conexión de fuentes de tensión reales en paralelo, 
que permiten obtener la tensión total entregada por la red.

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\input{circuitos/fuentes_tension_reales_paralelo.tex}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{8cm}
\begin{eqnarray*}
i(t) & = & \frac{v_1(t) - v_2(t)}{R_1 + R_2}  \\
v(t) & = & i(t)R_2 + v_2(t) = -i(t)R_1 + v_1(t)  \\
v(t) & = & \frac{R_2v_1(t) + R_1v_2(t)}{R_1 + R_2}
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\caption{Fuentes reales de tensión en paralelo, y sus ecuaciones asociadas}
\end{figure}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuentes_corriente_paralelo.tex}
\caption{Fuentes de corriente en paralelo.}
\end{wrapfigure}
\subsubsection{Fuentes de corriente en paralelo}

Las fuentes de corriente pueden ser conectadas en paralelo, sin importar los
valores de intensidad de corriente que sean capaces de entregar.  De esta forma,
el valor total de la corriente entregada será:

\begin{equation}
i(t) = i_1(t) + i_2(t)
\end{equation}

\subsubsection{Fuentes de corriente en serie}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\input{circuitos/fuentes_corriente_serie.tex}
\caption{Fuentes de corriente en serie.}
\end{wrapfigure}

Para conectar fuentes de corriente en serie, debo asegurarme de que todas las
fuentes entreguen la misma corriente:

\begin{equation}
i(t) = i_1(t) = i_2(t)
\end{equation}

Al igual que en el caso de las fuentes de tensión en paralelo, esta
restricción se aplica únicamente al caso de fuentes ideales, cuando se está
trabajando con fuentes reales, no es necesario que todos las fuentes de
corriente en serie entreguen la misma corriente.

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\input{circuitos/fuentes_corriente_reales_serie.tex}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{8cm}
\begin{eqnarray*}
v(t) & = &   \\
i(t) & = &   \\
i(t) & = & 
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\caption{Fuentes reales de corriente en serie, y sus ecuaciones asociadas}
\end{figure}

\subsection{Fuentes Controladas Ideales}

Las fuentes controladas, como ya se dijo, son aquellas en las cuales la tensión
o la corriente entregadas dependen de otra variable del circuito, que puede ser
la tensión o la corriente de un determinado elemento.

\begin{description}

\item[Fuente de tensión controlada por tensión] (FTCT) 

Se denomina {\bf tensión de control} a la tensión $v_i(t)$, que determina el valor de
$v(t)$. Y se denomina {\bf factor de amplificación de tensión} a la constante
adimensional $A_v$.

\begin{eqnarray*}
v(t) & = & A_v v_i(t) \\
A_v & = & \frac{v(t)}{v_i(t)}
\end{eqnarray*}

\item[Fuente de tensión controlada por corriente] (FTCC) 

Se denomina {\bf resistencia de transferencia} a la constante medida en $\Omega$, que
relaciona la tensión de la fuente con la corriente del elemento del circuito
que la controla.  También se la llama {\it transresistencia} o {resistencia
mutua}.

\begin{displaymath}
R_t = \frac{v(t)}{i_i(t)}
\end{displaymath}

\item[Fuente de corriente controlada por tensión] (FCCT) 

Se denomina {\bf conductancia de transferencia} a la constante $G_T$, medida en siemens que relaciona la corriente de la fuente con la tensión del elemento de circuito que la controla.  También se la denomina 
{\bf conductancia mutua}, o {\bf transconductancia}

\begin{displaymath}
i(t) = G_T v_i(t)
\end{displaymath}

\item[Fuente de corriente controlada por corriente] (FCCC) 

Se denomina {\bf factor de amplificación de corriente} a la constante adimensional $A_i$ que relaciona la corriente de control $i_i(t)$ con la corriente $i(t)$ entregada por la fuente.

\begin{displaymath}
A_i = \frac{i(t)}{i_i(t)}
\end{displaymath}

\end{description}

\subsubsection{Gráficos}

A continuación, los gráficos que ilustran los cuatro tipos de fuentes controladas, con sus parámetros de control asociados.

\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{2.5in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_tension_control_tension.tex}
\caption{fuente de tensión, \\controlada por tensión.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{2.5in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_tension_control_corriente.tex}
\caption{fuente de tensión, \\controlada por corriente.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{2.5in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_corriente_control_tension.tex}
\caption{fuente de corriente, \\controlada por tension.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{2.5in}
\centering
\input{circuitos/fuentes_corriente_control_corriente.tex}
\caption{fuente de corriente, \\controlada por corriente.}
\end{minipage}
\end{figure}

\section{Thevennin y Norton}

Se estudian a continuación dos modelos que se utilizan para analizar el
comportamiento de circuitos complejos a partir de circuitos más simples.  Ambos
modelos son equivalentes, y son válidos únicamente desde los puntos de vista
exteriores a las fuentes.

Es importante recalcar que los equivalentes de Thevennin y Norton son equivalentes al circuito original únicamente desde el punto de vista interno, y no externo.  Por ejemplo, no se puede utilizar el equivalente para calcular la potencia disipada en una porción del circuito.

\subsection{Thevennin}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/eq_thevennin.tex}
\caption{equivalente de Thevennin.}
\end{wrapfigure}

\begin{quote}
{\bf Teorema de Thevennin}: todo circuito lineal visto entre dos nodos cualquiera del mismo es
equivalente a una fuente de tensión en serie con una resistencia.
\end{quote}

La fuente de tensión ideal, llamada {\bf tensión equivalente} coincide con la difrencia de potencial que de mediría entre esos dos nodos del circuito, {\bf en vacío}.  Mientras que la resistencia equivalente de Thevennin coincide con la resistencia que se mediría entre esos dos puntos, pasivando los generadores independientes\footnote{Pasivar una fuente consiste en anular el efecto que produce. En el caso de una fuente de tensión se utiliza un cortocircuito, y en el caso de una fuente de corriente se utiliza un circuito abierto.}.

\subsubsection{Equivalente de Thevennin de un circuito}

Se trata de una fuente de tensión con una resistencia en serie, elegidas 
de tal manera que el comportamiento entre los bornes de este nuevo circuito sea
el mismo que el comportamiento entre los bornes del circuito original

\subsection{Norton}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/eq_norton.tex}
\caption{equivalente de Norton.}
\end{wrapfigure}

\begin{quote}
{\bf Teorema de Norton}:
todo circuito lineal visto entre dos nodos cualquiera del mismo es
equivalente a una fuente de corriente en paralelo con una conductancia.
\end{quote}

El generador equivalente de Norton coincide con la corriente que se mediría entre con los dos nodos en cortocircuito.  Por otro lado, la conductacia equivalente coincide con la que se mediría pasivando los generadores independientes.

\subsubsection{Equivalente de Norton de un circuito}

Se trata de una fuente de corriente con una conductancia en paralelo, 
elegidas de tal manera que el comportamiento entre los bornes de este 
nuevo circuito sea el mismo que el comportamiento entre los bornes 
del circuito original.

\subsection{Equivalencia}

Los dos modelos son equivalentes entre sí, y teniendo los valores de uno se pueden obtener los valores del otro, según las ecuaciones a continuación.

\begin{eqnarray*}
i_N = \frac{v_{TH}}{R_{TH}} & & G_N = \frac{1}{R_{TH}} \\
\\
v_{TH} = \frac{i_{N}}{G_N} & & R_{TH} = \frac{1}{G_{N}} 
\end{eqnarray*} 

\begin{quote}
{\bf Advertencia}: un factor importante a tener en cuenta es el de las fuentes controladas.  Si una fuente está controlada por una porción del circuito, no se puede realizar un equivalente de Thevennin o Norton que incluya al parámetro de control pero deje afuera a la fuente controlada.
\end{quote} 
