\chapter{Cuadripolos}

Se utiliza el concepto de {\bf cuadripolo} cuando ya no importa lo que se
encuentra dentro del circuito, sino sus variables para interactuar con
otros elementos o circuitos.

Se trata de una red de dos puertos (o pares de terminales), para la que
solamente hay 4 variables en juego: $I_1$, $I_2$, $V_1$ y $V_2$.  La única
restricción que se establece es que sea lineal.

\begin{eqnarray}
V_1(s)  &=& f_1(I_1(s), I_2(s)) \\
V_2(s)  &=& f_2(I_1(s), I_2(s))
\end{eqnarray}

Teniendo en cuenta la restricción de linealidad, las ecuaciones anteriores
se pueden expresar también como:

\begin{eqnarray}
V_1(s)  &=& k_1 I_1(s) + k_2 I_2(s) \\
V_2(s)  &=& k_3 I_1(s) + k_4 I_2(s))
\end{eqnarray}

Se utilizan polinomios en $s$, es decir que se utilizan polinomios que ya
se han transformado por Laplace, por lo que no es necesario tener en cuenta
derivadas o integrales. \\

Las corrientes se consideran positivas cuando {\bf ingresan} al cuadripolo
por el polo {\bf positivo}.

\section{Matrices de valores del cuadripolo}

La relación entre las tensiones y las corrientes puede expresarse a través
de 6 posibles matrices.  La matriz que se elija dependerá de la situación
particular, siendo las más comunes las de impedancias y admitancias.

\subsection{Matriz de impedancias}

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ V_2(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        Z_{11}(s) & Z_{12}(s) \\
        Z_{21}(s) & Z_{22}(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} I_1(s) \\ I_2(s) \end{array} \right]
\end{equation}

Donde
$Z_{11} = \left.\frac{V_1}{I_1}\right|_{I_2 = 0}$
$Z_{12} = \left.\frac{V_1}{I_2}\right|_{I_1 = 0}$
$Z_{21} = \left.\frac{V_2}{I_1}\right|_{I_2 = 0}$
$Z_{22} = \left.\frac{V_2}{I_2}\right|_{I_1 = 0}$

Para hacer este cálculo, se supone una fuente del lado de la corriente que es
distinta de cero, y un circuito abierto del otro lado.

$Z_{21}$ y $Z_{12}$ son llamadas las {\it resistencias de transferencia}, y en
el caso en que no haya fuentes controladas, tienen el mismo valor.

\subsection{Matriz de admitancias}

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} I_1(s) \\ I_2(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        Y_{11}(s) & Y_{12}(s) \\
        Y_{21}(s) & Y_{22}(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ V_2(s) \end{array} \right]
\end{equation}

Donde
$Y_{11} = \left.\frac{I_1}{V_1}\right|_{V_2 = 0}$
$Y_{12} = \left.\frac{I_1}{V_2}\right|_{V_1 = 0}$
$Y_{21} = \left.\frac{I_2}{V_1}\right|_{V_2 = 0}$
$Y_{22} = \left.\frac{I_2}{V_2}\right|_{V_1 = 0}$

Para calcular estos parámetros, se utiliza una fuente del lado en que la
tensión es distinta de cero, y un cortocircuito del otro lado.

Si no hay fuentes controladas $Y_{21} = Y_{12}$.

\subsection{Matriz de parámetros híbridos}

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ I_2(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        H_{11}(s) & H_{12}(s) \\
        H_{21}(s) & H_{22}(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} I_1(s) \\ V_2(s) \end{array} \right]
\end{equation}

\subsection{Matriz G}

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} I_1(s) \\ V_2(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        G_{11}(s) & G_{12}(s) \\
        G_{21}(s) & G_{22}(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ I_2(s) \end{array} \right]
\end{equation}


\subsection{Matriz de transferencia (ABCD)}

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ I_1(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        A(s) & B(s) \\
        C(s) & D(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} V_2(s) \\ -I_2(s) \end{array} \right]
\end{equation}

\subsection{Matriz de transferencia inversa}
\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} V_2(s) \\ I_2(s) \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        \alpha(s) & \beta(s) \\
        \gamma(s) & \delta(s)
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} V_1(s) \\ -I_1(s) \end{array} \right]
\end{equation}

\section{Conexión de cuadripolos en paralelo}

En una conexión de cuadripolos en paralelo, las tensiones $V_1$ y $V_2$ son
las mismas para ambos cuadripolos, pero las corrientes de entrada son
distintas.

Esta relación se puede expresar mediante impedancias

\begin{eqnarray}
V_1 &=& Z_{11A} I_{1A} + Z_{12A} I_{2A} \\
V_2 &=& Z_{21A} I_{1A} + Z_{22A} I_{2A} \\
V_1 &=& Z_{11B} I_{1B} + Z_{12B} I_{2B} \\
V_2 &=& Z_{21B} I_{1B} + Z_{22B} I_{2B}
\end{eqnarray}

Y también mediante admintancias.

\begin{eqnarray}
I_{1A} &=& Y_{11A} V_1 + Y_{12A} V_2 \\
I_{2A} &=& Y_{21A} V_1 + Y_{22A} V_2 \\
I_{1B} &=& Y_{11B} V_1 + Y_{12B} V_2 \\
I_{2B} &=& Y_{21B} V_1 + Y_{22B} V_2
\end{eqnarray}

Teniendo en cuanta que $I_1 = I_{1A} + I_{1B}$ y $I_2 = I_{2A} + I_{2B}$,
es evidente que para una conexión en paralelo, la matriz de admitancias 
total, es equivalente a la suma de las matrices de admitancias.

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \end{array} \right] =
\left( Y_A + Y_B \right)
\left[ \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right]
\end{equation}

\section{Conexión de cuadripolos en serie}

Cuando dos cuadripolos se conectan en serie, las corrientes $I_1$ y $I_2$ son
las mismas para ambos cuadripolos, mientras que las tensiones $V_1$ y $V_2$
son distintas.

En este caso, conociendo la matriz de impedancias de cada uno de los
cuadripolos es posible obtener la matriz de impedancias total a partir de la
suma de las otras dos.

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right] =
\left( Z_A + Z_B \right)
\left[ \begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \end{array} \right]
\end{equation}

\subsection{Excepción}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/cuadri_r_noserie.tex}
\caption{\label{cuadri:r_noserie} Un cuadripolo de 5 resistencias.}
\end{wrapfigure}

Sin embargo, no en todos los casos al conectar la salida de un
cuadripolo a la entrada de otro se logra la condición de que las
corrientes sean las mismas para ambos.

Por ejemplo, en la Figura \ref{cuadri:r_noserie} se puede ver un
cuadripolo formado por 5 resistencias.  Cuya matriz de impedancias es:

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cc}
3 \Omega & 1 \Omega \\ 1 \Omega & 3 \Omega
\end{array} \right]
\end{equation}

Si se conectan los bornes a otro cuadripolo equivalente como se
muestra en la Figura \ref{cuadri:r_noserie2}, se puede analizar el
incoveniente.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/cuadri_r_noserie2.tex}
\caption{\label{cuadri:r_noserie2} Conexión de dos cuadripolos como
los de la Figura \ref{cuadri:r_noserie}.}
\end{wrapfigure}

En este caso, la impedancia $Z_{11} = 5 \Omega$, en lugar de $6
\Omega$ que sería el valor esperado, si se piensa que ambos
cuadripolos están en serie.  Esto se debe a que no se cumple la
condición de $I_{1A} = I_{1B}$ y $I_{2A} = I_{2B}$.


\section{Conexión híbrida}

Es posible utilizar conexiones mixtas, cuyas entradas estén en serie y
salidas en paralelo, o al revés.

En el caso en que la entrada está en serie y la salida en paralelo,
$V_1 = V_{1A} + V_{1B}$ y $I_2 = I_{2A} + I_{2B}$, mientras que
$V_2 = V_{2A} = V_{2B}$ y $I_1 = I_{1A} = I_{1B}$.

\begin{eqnarray}
V_{1A} &=& H_{11A} I_1 + H_{12A} V_2 \\
I_{2A} &=& H_{21A} I_1 + H_{22A} V_2 \\
V_{1B} &=& H_{11B} I_1 + H_{12B} V_2 \\
I_{2B} &=& H_{21B} I_1 + H_{22B} V_2
\end{eqnarray}

Se utiliza la matríz híbrida, ya que los valores no son todos de impedancias
ni todos de admitancias. \\

Por otro lado, en el caso en que las entradas están conectadas en paralelo y
las salidas en serie, se utiliza la otra matríz híbrida ({\bf G}).  En este
caso, $V_1 = V_{1A} = V_{1B}$ y $I_2 = I_{2A} = I_{2B}$, mientras que
$V_2 = V_{2A} + V_{2B}$ y $I_1 = I_{1A} + I_{1B}$.

\begin{eqnarray}
I_{1A} &=& G_{11A} V_1 + G_{12A} I_2 \\
V_{2A} &=& G_{21A} V_1 + G_{22A} I_2 \\
I_{1B} &=& G_{11B} V_1 + G_{12B} I_2 \\
V_{2B} &=& G_{21B} V_1 + G_{22B} I_2
\end{eqnarray}

\section{Conexión en Cascada}

Se denomina conexión {\it en cascada} a la conexión en la cual la
salida de uno de los cuadripolos es la entrada del otro.  Es decir
que, en este caso, $V_1 = V_{1A}$, $V_2 = V_{2B}$, $I_1 = I_{1A}$,
$I_2 = I_{2B}$ y, además, $V_{2A} = V_{1B}$ y $I_{2A} = -I_{1B}$.

En este caso la matriz de parámetros que conviene utilizar para
representar cada uno de los cuadripolos es la matriz de transferencia.

\begin{eqnarray}
V_{1A} &=& A_{A} V_{2A} - B_{A} I_{2A} \\
I_{1A} &=& C_{A} V_{2A} - D_{A} I_{2A} \\
V_{1B} &=& A_{B} V_{2B} - B_{B} I_{2B} \\
I_{1B} &=& C_{B} V_{2B} - D_{B} I_{2B}
\end{eqnarray}

Teniendo en cuenta los datos de vinculación de ambos cuadripolos, es
posible encontrar una expresión general para $V_1$ y $V_2$, $I_1$ y
$I_2$.

\begin{eqnarray}
V_1 &=& A_{A} V_{1B} + B_{A} I_{1B} \\
I_1 &=& C_{A} V_{1B} + D_{A} I_{1B} \\
V_1 &=& A_{A} \left( A_{B} V_{2B} - B_{B} I_{2B} \right)
+ B_{A} \left( C_{B} V_{2B} - D_{B} I_{2B} \right) \\
I_1 &=& C_{A} \left( A_{B} V_{2B} - B_{B} I_{2B} \right)
+ D_{A} \left( C_{B} V_{2B} - D_{B} I_{2B} \right) \\
V_1 &=& \left( A_{A} A_{B} + B_{A} C_{B} \right) V_2
- \left( A_{A}B_{B} + B_{A}D_{B} \right) I_2 \\
I_1 &=& \left(  C_{A} A_{B} + D_{A} C_{B} \right) V_2
- \left( C_{A}B_{B} + D_{A} D_{B} \right) I_2
\end{eqnarray}

La matriz de transferencia del cuadripolo total, será entonces.

\begin{equation}
\left[ A_{Tot} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
        A_A & B_A \\
        C_A & D_A
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
        A_B & B_B \\
        C_B & D_B
\end{array} \right]
\end{equation}


\section{Cálculo de los parámetros}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/cuadri_clr.tex}
\caption{\label{cuadri:clr} Un cuadripolo por dentro.}
\end{wrapfigure}

Para calcular las impedancias de un circuito como el de la Figura
\ref{cuadri:clr}, es necesario en primer lugar suponer un circuito abierto en
la ubicación de $V_2$.

\begin{eqnarray}
V_1 = I_1 \left(sL+\frac{1}{sC}\right) &\Rightarrow& Z_{11}=sL+\frac{1}{sC} \\
V_2 = I_1 sL &\Rightarrow& Z_{21}=sL
\end{eqnarray}

A continuación, se supone un circuito abierto en la ubicación de $V_1$.

\begin{eqnarray}
V_1 = I_2 sL  &\Rightarrow& Z_{12} = sL\\
V_2 = I_2 \left( sL + R \right) &\Rightarrow& Z_{22} = sL + R
\end{eqnarray}

De manera que la matriz de impedancias será
\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cc} sL + 1/sC & sL \\ sL & sL + R \end{array} \right]
\end{equation}

Como se puede ver, los términos $Z_{12}$ y $Z_{21}$ son iguales, ya que no hay
fuentes controladas en el circuito. \\

Por otro lado, para calcular la matriz de admitancias, es necesario suponer
primero que en el lugar de $V_2$ hay un cortocircuito, y luego lo mismo para
$V_1$.

\begin{eqnarray}
V_1 &=& I_1 \left( \frac{1}{sC} + \frac{RsL}{sL + R} \right) \\
Y_11 &=& \frac{sC (sL + R)}{s^2RCL + sL + R}
\end{eqnarray}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/cuadri_crl.tex}
\caption{\label{cuadri:clr} Un cuadripolo por dentro.}
\end{wrapfigure}

Por otro lado, si se invirtieran las posiciones de la resistencia y el
inductor como en la Figura \ref{cuadri:clr}, las impedancias del
circuito serían
\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cc} R + 1/sC & R \\ R & R + sL \end{array}
\right] \end{equation}

\subsection{Generalización para las admitancias}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/cuadri_general.tex}
\caption{\label{cuadri:general} Un cuadripolo genérico.}
\end{wrapfigure}

Los circuitos anteriores son de tipo $T$, cuyos cálculos
pueden generalizarse para obtener los valores de las admitancias para
cualquier cuadripolo que tenga esa disposición, como se indica en la
Figura \ref{cuadri:general} \\

El criterio para resolver estos cálculos es el mismo que se utiliza
para resolver un divisor de corrientes.

En primer lugar, se considera que la tensión $V_2 = 0$.  De este
modo, se pueden obtener las admitancias $Y_{11}$ y $Y_{21}$.

\begin{eqnarray}
I_1 &=& \frac{V_1}{\frac{Z_2 Z_3}{Z_2 + Z_3} + Z_1} \\
I_1 &=& \frac{V_1 \left( Z_2 + Z_3 \right)}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1
Z_3} \\
Y_{11} &=& \frac{Z_2 + Z_3}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
I_2 &=& - I_1 \frac{Z_3}{Z_2 + Z_3} \\
I_2 &=& - \frac{V_1 Z_3 \left( Z_2 + Z_3 \right)}
{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3 \left( Z_2 + Z_3 \right) } \\
I_2 &=& - \frac{V_1 Z_3}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3 } \\
Y_{21} &=& - \frac{Z_3}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3 }
\end{eqnarray}

Anulando la tensión $V_1$ se pueden obtener las admitancias
$Y_{12}$ y $Y_{22}$.
\begin{eqnarray}
Y_{12} &=& - \frac{Z_3}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3 } \\
Y_{22} &=& \frac{Z_1 + Z_3}{Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3}
\end{eqnarray}

\section{Cálculo de la transferencia}

Utilizando la matriz de admitancias,
\begin{eqnarray}
I_1 &=&  Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2 \\
I_2 &=&  Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2
\end{eqnarray}

Si se quiere encontrar la transferencia $T(s) =
\frac{V_2(s)}{V_1(s)}$, se puede tomar que cuando $I_2 = 0$ (es decir
a circuito abierto). \begin{eqnarray}
0 &=&  Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2 \\
T(s) = \frac{V_2}{V_1} &=& - \frac{Y_{21}}{Y_{22}}
\end{eqnarray}