\chapter{Capacitores e Inductores}

\section{Capacitores}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/capacitor.tex}
\caption{\label{capacitor} un capacitor.}
\end{wrapfigure}

Un capacitor es un elemento capaz de almacenar energía en forma de carga
eléctrica entre sus bornes.  El símbolo utilizado para representar un
capacitor en circuitos eléctricos es el que se indica en al figura
\ref{capacitor}.

\subsection{Capacitancia}

La capacitancia es una característica de los elementos de circuito que está
relacionada con la capacidad de almacenar energía.  Su unidad es el Farad
(F).

La capacitancia es la característica primordial de los capacitores.  La
capacitancia que posee un determinado capacitor está relacionada con su
geometría y con la permeabilidad de los materiales que lo componen.

\subsection{Ecuaciones de los capacitores}

La capacitancia de un determinado capacitor se
indica con la letra $C$, y está dada por la relación entre la carga y la
tensión en el capacitor.

\begin{equation}
\label{capacidad} C = \frac{Q}{\Delta V}
\end{equation}

Para el análisis se utilizan capacitores que tienen una capacidad
invariante en el tiempo, por lo que se puede expresar la carga de un capacitor en
función del tiempo, según la ecuación (\ref{carga_capacitor}).

\begin{equation}
\label{carga_capacitor} q(t) = C v(t)
\end{equation}

Por otro lado, recordando la ecuación (\ref{corriente}), se puede obtener
la expresión para la corriente en el capacitor.

\begin{equation}
\label{corriente_capacitor} i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}
\end{equation}

A continuación, la ecuación (\ref{tension_capacitor}) vincula la corriente
que circula en el capacitor con la tensión a la que están sometidos sus
bornes.

\begin{equation}
\label{tension_capacitor}
v(t) = \frac{1}{C} \int^{t}_{-\infty}{i(\tau) d\tau}
      = v(0) \frac{1}{C} \int^{t}_{0}{i(\tau) d\tau}
\end{equation}

Finalmente, teniendo en cuenta la ecuación (\ref{potencia}), se puede
obtener la potencia disipada (o entregada) en el capacitor, que estará dada
por la ecuación (\ref{potencia_capacitor}).

\begin{equation}
\label{potencia_capacitor} P_C(t) = C v(t) \frac{dv(t)}{dt}
\end{equation}

De la misma manera, teniendo en cuenta la ecuación (\ref{energia}), puede
calcularse la energía total disipada (o entregada), de la siguiente manera:

\begin{eqnarray}
w_C(t) & = & C \int^{t}_{-\infty}{v(\tau) \frac{dv(\tau)}{d\tau} d\tau} \\
w_C(t) & = & C \int^{v(t)}_{v(-\infty)}{v(\tau) dv(\tau)} \\
w_C(t) & = & C \left( \frac{v^2(t)}{2} - \frac{v^2(-\infty)}{2} \right)
\end{eqnarray}

Para poder obtener la energía total del capacitor se debe tomar un valor
inicial de energía, es decir que $v(-\infty) = 0$.  Y con este dato se
puede llegar a la ecuación (\ref{energia_capacitor}).

\begin{equation}
\label{energia_capacitor}
w(t) = C \frac{v^2(t)}{2}
\end{equation}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/capacitor_corriente.tex}
\caption{\label{fig_capacitor_ej1} un capacitor alimentado por una
fuente de corriente.}
\end{wrapfigure}

\subsection{Circuitos capacitivos}

Se analizan a continuación algunos circuitos básicos que incluyen un
capacitor y una fuente de corriente o tensión.

\subsubsection{Circuitos con fuentes de corriente}

Si se quiere resolver un circuito como el de la Figura
\ref{fig_capacitor_ej1}, será necesario conocer las condiciones
iniciales del capacitor, y la función que representa la corriente
entregada por la fuente. \\

Si se toma $i(t) = \delta(t)$ como la función de la corriente que
entrega la fuente y $q(0) = 0$ como la carga inicial del capacitor.
Se puede obtener la tensión en el capacitor utilizando la ecuación
(\ref{tension_capacitor}).

\begin{equation}
v(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{\delta(\tau) d\tau}
       = \frac{1}{C}
\end{equation}

La tensión en el capacitor, entonces, es constante para $t > 0$ y vale
$\frac{1}{C}$.  Por otro lado, podemos obtener la carga en el
capacitor, utilizando la ecuación (\ref{carga_capacitor}).

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{graficos/carga_capacitor_corriente.tex}
\caption{\label{carga_capacitor_corriente} tensión en un capacitor en un
circuito impulsivo.}
\end{wrapfigure}

\begin{equation}
q(t) = C v(t) = C \frac{1}{C} = 1
\end{equation}

Se puede apreciar, que el valor de la carga ha pasado de $0$ a $1$
luego de la aplicación de la corriente.  Se corrobora de esta forma
que la utilización del impulso produce una alteración en las
condiciones iniciales del circuito.

En la figura \ref{carga_capacitor_corriente}, se grafica la curva de la
tensión en función de la corriente, donde se puede apreciar este salto en
el instante cero.

Si se elige $i(t) = 3 \delta(t)$, el valor de la tensión será
$\frac{3}{C}$ constante a partir de $t > 0$, mientras que la carga en
el capacitor tendrá el valor $3$, en ese mismo intervalo. \\

{\bf Nota:}
ningún elemento real es capaz de entregar una corriente infinita, por
lo tanto la diferencia de potencial entre los bornes de un capacitor,
debe variar en forma continua en el tiempo,
no puede tener saltos de ningún tipo.

Sin embargo, el modelo que utiliza
la delta de Dirac es válido como una forma de aproximación al
comportamiento del circuito ante un impulso real (una gran intensidad
durante un tiempo muy corto). \\

Si, por otro lado, se toma $i(t) = A u(t)$, es decir un valor constante de
corriente a partir del instante cero, al efectuar la integral se puede
observar que la tensión en el capacitor estará dada por
$v_C(t) = \frac{A}{C} t u(t)$. Es decir, la tensión crecerá
indefinidamente.

Y si la corriente fuera $i(t) = K t u(t)$, es decir que la
alimentación provista por la fuente de corriente es una rampa de
pendiente $K$, al efectuar la integral, la tensión en el capacitor
estará dada por $\frac{K}{2C}t^2u(t)$, es decir que la tensión crecerá
indefinidamente en forma cuadrática.

En la realidad, la tensión no podrá crecer indefinidamente, ya que los
capacitores tienen un rango de operación de tensiones, y pasada la máxima
tensión permitida el capacitor dejará de funcionar correctamente.

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/capacitor_tension.tex}
\caption{\label{fig_capacitor_ej2} un capacitor alimentado por una
fuente de tensión.}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{Circuitos con fuentes de tensión}

Si se conecta un capacitor a una fuente de tensión, como se muestra en la
figura \ref{fig_capacitor_ej2}, con una tensión $v(t) = u(t)$, teniendo
en cuenta la ecuación \ref{corriente_capacitor}, la corriente que circule
por la malla será $i = c \delta(t)$.

Si, en cambio, la tensión que
proporciona la fuente es $v(t) = \delta(t)$, la función que representa a la
corriente será $i(t) = c \delta^2(t)$

En ambos casos, la corriente circula únicamente en el instante $t=0$, ya
que luego de ese instante el capacitor permanece cargado con la misma
tensión que la fuente le está entregando, es decir $1$ en el primer
caso, y $0$ en el segundo.

\subsection{Conexión en serie y paralelo}

Se estudian a continuación las capacitancias equivalentes que resultan de
conectar dos o más capacitores en serie o paralelo.

\subsubsection{Conexión Paralelo}

Si se conectan dos capacitores en paralelo, como se ilustra en la Figura
\ref{capacitores_paralelo}, ambos capacitores deben tener la misma
diferencia de potencial, mientras que la corriente que circula deberá ser
la suma de las corrientes de cada uno.

\begin{tabular}{p{7cm}p{6cm}}
\begin{eqnarray*}
i(t) & = & i_1(t) + i_2(t) \\
i(t) & = & C_1 \frac{dv(t)}{dt} + C_2 \frac{dv(t)}{dt} \\
i(t) & = & \frac{dv(t)}{dt} (C_1 + C_2) \\
i(t) & = & \frac{dv(t)}{dt} (C_{eq})
\Longrightarrow C_{eq} = C_1 + C_2
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
v_1(t) & = & v_2(t) = v(t) \\
i_1(t) & = & C_1 \frac{dv(t)}{dt} \\
i_2(t) & = & C_2 \frac{dv(t)}{dt}
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

Es decir que, al conectar capacitores en paralelo, la capacitancia
equivalente está dada por la suma de las capacitancias.

\begin{equation}
C_{eq} = \sum_{i=0}^n{C_i}
\end{equation}

\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{7cm}
\centering
\input{circuitos/capacitores_paralelo.tex}
\caption{\label{capacitores_paralelo} dos capacitores en paralelo.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\centering
\input{circuitos/capacitores_serie.tex}
\caption{\label{capacitores_serie} dos capacitores en serie.}
\end{minipage}
\end{figure}

\subsubsection{Conexión Serie}

Si se conectan dos capacitores en serie, como se ilustra en la Figura
\ref{capacitores_serie}, la corriente que circule por ellos será la misma,
mientras que la tensión total será la suma de las tensiones de cada uno.
Se puede deducir, entonces, la expresión para su capacitancia equivalente.

\begin{tabular}{p{5cm}p{9cm}}
\begin{eqnarray*}
i(t) & = & i_1(t) = i_2(t) \\
v_1(t) & = & \frac{1}{C_1} \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + V_{0_1} \\
v_2(t) & = & \frac{1}{C_2} \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + V_{0_2}
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
v(t) & = & v_1(t) + v_2(t) \\
v(t) & = & \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)
           \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + (V_{0_1} + V_{0_2}) \\
C_{eq} & = & \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

Donde $V_{0_1}$ y $V_{0_2}$ son las condiciones iniciales para cada uno de
los capacitores.

Es decir que, al conectar capacitores en serie, la inversa de
la capacitancia equivalente está dada por la suma de la inversa de las
capacitancias.

\begin{equation}
\frac{1}{C_{eq}} = \sum_{i=0}^n{\frac{1}{C_i}}
\end{equation}

\section{Inductores}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductor.tex}
\caption{\label{inductor} un inductor.}
\end{wrapfigure}

Los inductores son creados a partir de la asociación de espiras, para las cuales
se aplica la Ley de Faraday para una espira por la que circula un flujo
magnético.  Esta ley está dada por la ecuación (\ref{faraday}).

\begin{equation}
\label{faraday} v(t) = \frac{d \Phi(t)}{dt}
\end{equation}

Donde $\Phi(t)$ es el flujo magnético.  Se puede ver a partir de esta ecuación,
que el flujo magnético se relaciona con la tensión de la misma manera en que la
carga se relaciona con la corriente.

\subsection{Inductancia}

La característica específica de los inductores es la inductancia. Su unidad es
el Henry (H).

\begin{equation}
\label{flujo_inductancia} \Phi(t) = L i(t)
\end{equation}

Donde la constante $L$ es llamada {\it coeficiente de auto-inducción}, y
caracteriza a la inductancia del elemento.

Además de la inductancia, los inductores reales suelen tener una resistencia y
una capacitancia parásitas.  Sin embargo, estos valores pueden ser despreciados
siempre que la aproximación que se esté realizando siga siendo útil.  \\

Al igual que en el caso de los resistores y capacitores, el sentido de la
corriente de un inductor es positivo cuando recorre el inductor desde el
terminal más positivo hacia el más negativo.

\subsection{Ecuaciones de los inductores}

Tomando las ecuaciones (\ref{faraday}) y (\ref{flujo_inductancia}) puede
obtenerse la expresión para la tensión en función de la corriente, dada por la
ecuación (\ref{inductancia}).

\begin{equation}
\label{inductancia} v(t) = L \frac{di(t)}{dt}
\end{equation}

{\bf Aclaración:} se utiliza la suposición de que $L$ es invariante en el
tiempo.  En el caso en que el coeficiente de auto-inducción variara con el
tiempo, los circuitos que lo utilizaran dejarían de ser lineales e invariantes
en el tiempo, ya que la tensión estaría dada por: $v(t) = L(t) \frac{di(t)}{dt}
+ i(t) \frac{dL(t)}{dt}$. \\

Por otro lado, si se quiere obtener la corriente que circula en el inductor a
partir de la tensión aplicada, se puede utilizar la ecuación
(\ref{corriente_inductor}).

\begin{equation}
\label{corriente_inductor} i(t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{t}{ v(\tau) d\tau}
\end{equation}

Teniendo en cuenta la ecuación (\ref{potencia}), puede obtenerse la ecuación
(\ref{potencia_inductor}), que expresa la potencia recibida o entregada por el
inductor.

\begin{equation}
\label{potencia_inductor} p(t) = L i(t) \frac{di(t)}{dt}
\end{equation}

De la misma manera, utilizando la ecuación (\ref{energia}) se puede obtener la
expresión para la energía que entrega o recibe un inductor, dada por la ecuación
(\ref{energia_inductor}).  Es importante destacar que el inductor puede
almacenar energía y luego entregarla, pero no puede fabricar la energía de
la nada.

\begin{eqnarray*}
w_L(t) & = & L \int_{-\infty}^{t}{i(\tau) \frac{di(\tau)}{d\tau} d\tau} \\
w_L(t) & = & L \int_{i(-\infty)}^{i(t)}{i(\tau) di(\tau)} \\
w_L(t) & = & \frac{L}{2} \left. i^{2}(t) \right|_{i(-\infty)}^{i(t)} \\
w_L(t) & = & \frac{L}{2} ( i^{2}(t) - i^{2}(-\infty)
\end{eqnarray*}

Si se asume que la corriente que circulaba por el inductor en el momento de
ser fabricado era nula, se llega a la ecuación (\ref{energia_inductor}).

\begin{equation}
\label{energia_inductor} w_L(t) = \frac{L i^{2}(t)}{2}
\end{equation}

\subsection{Circuitos inductivos}

Se analizan a continuación los circuitos básicos para los inductores,
compuestos de un inductor y una fuente de corriente o tensión.

\subsubsection{Circuitos con fuentes de tensión}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductor_tension.tex}
\caption{\label{fig_inductor_ej1} un inductor alimentado por una
fuente de tensión.}
\end{wrapfigure}

Si se conecta una fuente de tensión a un inductor, como está ilustrado en la
Figura \ref{fig_inductor_ej1}, la corriente que circule por el inductor
dependerá de la función que caracterice a la fuente de tensión.

Si, por ejemplo, el potencial entregado por la fuente es $v(t) = t u(t)$, la
corriente que circule por el inductor estará dada por:

\begin{displaymath}
i(t) = i_0 + \frac{1}{L} \int_{0}^{t}{\tau u(\tau) d\tau} =
i_0 + \frac{t^2}{2L}u(t)
\end{displaymath}

Si, en cambio, la tensión entregada por la fuente está dada por $v(t) = u(t)$,
la corriente que circule por el inductor estará dada por $i(t) = \frac{1}{L} t
u(t)$. \\

Por último, la corriente que circula por un inductor si se conecta
a una fuente de tensión $v=\delta(t)$ será $i(t) = \frac{u(t)}{L}$.  Es
decir que, una vez que se le entrega el impulso de tensión al inductor, la
corriente sigue circulando indefinidamente con el valor constante
$\frac{1}{L}$.

\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{5cm}
\centering
\input{graficos/corriente_inductor_u.tex}
\caption{\label{corriente_inductor_u} corriente en un inductor con
una fuente escalón.}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\centering
\input{graficos/corriente_inductor_delta.tex}
\caption{\label{corriente_inductor_delta} corriente en un inductor en un
circuito impulsivo.}
\end{minipage}
\end{figure}

{\bf Importante:}
Para poder tener un salto de corriente como el descripto, la diferencia de
potencial tiene que dar un salto infinito.  En la práctica real esto es
imposible, nunca se va a poder dar este salto, de manera que la corriente en el
inductor siempre variará de forma continua.

En la práctica, si se interrumpe la corriente de golpe, la diferencia de
potencial va a aumentar mucho, aunque no va a llegar a infinito.

\subsubsection{Circuitos con fuentes de corriente}

Si, en cambio, se conecta el inductor a una fuente de corriente, como se ve
en la Figura \ref{fig_inductor_ej2}, la tensión entre los bornes del
inductor estará dada según la ecuación (\ref{inductancia}).

Por ejemplo, si la corriente entregada por la fuente es de $i(t) = t u(t)$,
la tensión entre los bornes del inductor será $v(t)=L u(t)$. Mientras que
si la corriente es $i(t) = u(t)$, la tensión será $v(t) = L \delta(t)$. \\

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductor_corriente.tex}
\caption{\label{fig_inductor_ej2} un inductor alimentado por una
fuente de corriente.}
\end{wrapfigure}

{\bf Nota:}
Ningún inductor (o capacitor) es ideal, es decir todos tienen resistenca.
Por esta razón, la respuesta real nunca puede ser una delta de Dirac.

\subsection{Conexión en serie y paralelo}

Se estudian a continuación las inductancias equivalentes que resultan de
conectar dos o más inductores en serie o paralelo.

\subsubsection{Conexión Serie}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductores_serie.tex}
\caption{\label{inductores_serie} dos inductores en serie.}
\end{wrapfigure}

Si se conectan dos inductores en serie, como se ilustra en la Figura
\ref{inductores_serie}, la corriente que circule por ellos será la misma,
mientras que la tensión total será la suma de las tensiones de cada uno.
Se puede deducir, entonces, la expresión para su inductancia equivalente.

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
\begin{eqnarray*}
v(t) & = & v_1(t) + v_2(t) \\
v(t) & = & L_1 \frac{di(t)}{dt} + L_2 \frac{d1(t)}{dt} \\
v(t) & = & ( L_1 + L_2 ) \frac{di(t)}{dt} \\
L_{eq} & = & L_1 + L_2
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
i_1(t) & = & i_2(t) = i(t) \\
v_1(t) & = & L_1 \frac{di(t)}{dt} \\
v_2(t) & = & L_2 \frac{d1(t)}{dt}  \\
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductores_paralelo.tex}
\caption{\label{inductores_paralelo} dos inductores en paralelo.}
\end{wrapfigure}

Es decir que, al conectar inductores en serie, la inductancia equivalente
está dada por la suma de las inductancias.

\begin{equation}
L_{eq} = \sum_{i=0}^n{L_i}
\end{equation}

\subsubsection{Conexión Paralelo}

Si se conectan dos inductores en paralelo, como se ilustra en la Figura
\ref{inductores_paralelo}, ambos inductores deben tener la misma
diferencia de potencial, mientras que la corriente que circula es la suma
de las corrientes de cada uno.

\begin{tabular}{p{4.5cm}p{8cm}}
\begin{eqnarray*}
v(t) & = & v_1(t) = v_2(t)  \\
i_1(t) & = & \frac{1}{L_1} \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + I_0_1 \\
i_2(t) & = & \frac{1}{L_2} \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + I_0_2
\end{eqnarray*}
&
\begin{eqnarray*}
i(t) & = & i_1(t) + i_2(t) \\
i(t) & = & \left(\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \right)
           \int_{0}^{t}{i(\tau)d\tau} + (I_{0_1} + I_{0_2}) \\
L_{eq} & = & \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}
\end{eqnarray*}
\end{tabular}

Donde $I_{0_1}$ y $I_{0_2}$ son las condiciones iniciales para cada uno de
los inductores.

Es decir que, al conectar inductores en paralelo, la inversa de
la inductancia equivalente está dada por la suma de las inversas de las
inductancias.

\begin{equation}
\frac{1}{L_{eq}} = \sum_{i=0}^n{\frac{1}{L_i}}
\end{equation}

\section{Inductancia Mutua}

\begin{wrapfigure}{o}[1.5in]{1.3in}
\centering
\input{circuitos/inductores_acoplados.tex}
\caption{\label{inductores_acoplados} dos inductores acoplados.}
\end{wrapfigure}

Cuando el campo magnético que produce una bobina induce tensión en otras
bobinas, se dice que dichas bobinas están acopladas y los devanados
constituyen un transformador.

Si se aproximan dos inductores, como se muestra en la Figura
\ref{inductores_acoplados}, el flujo magnético del primer inductor estará
dado por la ecuación (\ref{flujo_inductancia_mutua}).

\begin{equation}
\label{flujo_inductancia_mutua} \Phi_{1}(t) = L_1 i_{1}(t) + M_{12}
i_{2}(t)
\end{equation}

Donde $M_{12}$ es el coeficiente de inducción mutua sobre el inductor $1$,
provocada por el inductor $2$.  Es decir, es un coeficiente que indica cómo
es afectado el inductor $1$ por la corriente $i_{2}(t)$.

Por ser un coeficiente de inducción, $M_{12}$ se mide en Henry. \\

De esta manera, si se tiene en cuenta la nueva expresión para el flujo
magnético, dado por la ecuación (\ref{flujo_inductancia_mutua}), se obtiene
una nueva expresión para la tensión del inductor, que puede verse en la
ecuación (\ref{tension_inductancia_mutua}).

\begin{equation}
\label{tension_inductancia_mutua} v_1(t) = \frac{d\Phi_{1}(t)}{dt}
= L_1 \frac{di_{1}(t)}{dt} \pm M_{12} \frac{di_{2}(t)}{dt}
\end{equation}

Si ambas corrientes ingresan por los puntos homólogos (es decir, los
puntos marcados en el gráfico del circuito), los flujos se
suman, porque las líneas de flujo son coincidentes.
Si, por otro lado, las dos corrientes salen por los puntos homólogos,
también se suman los flujos.

Si, en cambio, una corriente entra y la otra sale por los correspondiente
puntos homólogos, los flujos se restan.

En el caso presentado en la figura \ref{inductores_acoplados}, la tensión
en el segundo inductor estará dada por la ecuación
(\ref{tension_inductancia_mutua2}).

\begin{equation}
\label{tension_inductancia_mutua2} v_2(t) = \frac{d\Phi_{2}(t)}{dt}
= L_2 \frac{di_{2}(t)}{dt} + M_{21} \frac{di_{1}(t)}{dt}
\end{equation}

Donde el coeficiente $M_{12}= M_{21}$, ya que el efecto que el primer
inductor produce sobre el segundo es igual al efecto que el segundo produce
sobre el primero.

\subsection{Circuitos con inductores acoplados}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/induc_2_mallas.tex}
\caption{\label{induc_2_mallas} un circuito con dos inductores y dos
mallas.}
\end{figure}

Estas son las ecuaciones de malla para el circuito de la figura
\ref{induc_2_mallas}.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1(t) & = & L_1 \frac{di_1}{dt} + i_1 R
- i_2 R - M \frac{di_2(t)}{dt} \\
\textrm{II)} & -v_2(t) & = & L_2 \frac{di_2}{dt} + i_2 R
- i_2 R - M \frac{di_1(t)}{dt} \\
\end{array}
\end{displaymath}

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/induc_2_mallas2.tex}
\caption{\label{induc_2_mallas2} otro circuito con dos inductores y dos
mallas.}
\end{figure}

Y estas son las ecuaciones de malla para el circuito de la figura
\ref{induc_2_mallas2}.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1(t) & = & L_1 \frac{di_1}{dt} + M (\frac{di_1(t)}{dt} - \frac{di_2(t)}{dt})
+ L_2 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_1(t)}{dt}  -
L_2 \frac{di_2}{dt} \\
\textrm{II)} & -v_2(t) & = & L_2 \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_1(t)}{dt} +
i_2 R - L_2 \frac{di_1}{dt}  \\
\end{array}
\end{displaymath}

Ordenando un poco se puede llegar a una expresión más simple.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lrcl}
\textrm{I)} & v_1(t) & = & (L_1 + L_2) \frac{di_1}{dt} + 2M
\frac{di_1(t)}{dt} - M \frac{di_2(t)}{dt} - L_2 \frac{di_2}{dt} \\
\textrm{II)} & -v_2(t) & = & L_2 \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_1(t)}{dt} +
i_2 R - L_2 \frac{di_1}{dt}  \\
\end{array}
\end{displaymath}

\subsection{Energía en inductores acoplados}

Para dos inductores acoplados con inductancias $L_1$ y $L_2$ e
inductancia mutua $M$, la energía de cada uno de los inductores estará
dada por las ecuaciones (\ref{energ_induc_acopl_1}) y
(\ref{energ_induc_acopl_2}).

\begin{eqnarray}
\label{energ_induc_acopl_1} w_1 & = & \frac{1}{2} L_1 i^2_1(t) +
\frac{1}{2} M i_2(t) \\
\label{energ_induc_acopl_2} w_2 & = & \frac{1}{2} L_2 i^2_2(t) +
\frac{1}{2} M i_1(t)
\end{eqnarray}

La energía total de los inductores estará dada por la ecuación
(\ref{energ_induc_acopl_total}).
Esta energía nunca puede ser negativa ya que los inductores son elementos
pasivos.

\begin{equation}
\label{energ_induc_acopl_total} w(t) = \frac{1}{2} L_1 i^2_1(t) +
\frac{1}{2} L_2 i^2_2(t)  + M i_1(t) i_2(t)
\end{equation}

\subsubsection{Coeficiente de acoplamiento}

El coeficiente de acomplamiento $k$ es un número que varía entre 0 y 1, que
indica si el acomplamiento de los inductores es débil o fuerte.  El
coeficiente de acoplamiento entre dos inductores $L_1$ y $L_2$, está dado
por la ecuacion (\ref{coef_acopl}).

\begin{equation}
\label{coef_acopl} k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}
\end{equation}

Un coeficiente muy cercano a cero indica un acoplamiento débil, mientras
que un coeficiente muy cercano a uno indica un acoplamiento fuerte.  Cuando
$k = 1$, se dice que se trata de un {\bf acoplamiento perfecto}, y
constituye de un {\bf transformador ideal}.  En la realidad, los
transformadores tienen un coeficiente $k \approx 0.99$.

\subsection{Transformadores ideales}

Si el flujo magnético por una de las espiras de los inductores es $\phi$,
el flujo magnético a través de un inductor con $N_1$ espiras será
$\phi_1 = N_1 \phi$, mientras que el flujo magnético a través de un
inductor con $N_2$ espiras será $\phi_2 = N_2 \phi$.  De modo que la
relación entre $\phi_1$ y $\phi_2$ estará dada por la ecuación
(\ref{relacion_flujos}).

\begin{equation}
\label{relacion_flujos} \frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{N_1}{N_2}
\end{equation}

Teniendo en cuenta la ecuación (\ref{flujo_magnetico}), se puede obtener la
relación entre los potenciales electrostáticos $v_1$ y $v_2$ generados por
los inductores.

\begin{eqnarray}
v_1 &=& \frac{d \phi_1}{dt} = N_1 \frac{d\phi}{dt} \\
v_2 &=& \frac{d \phi_2}{dt} = N_2 \frac{d\phi}{dt} \\
\label{rel_tens_transf} \frac{v_1}{v_2} &=& \frac{N_1}{N_2}
\end{eqnarray}

Del mismo modo, se puede obtener la relación de las corrientes que
circulan por los inductores, si los sentidos de referencia están
dados como  se muestra en la Figura \ref{inductores_acoplados}, teniendo en
cuenta que $f_{MM} = 0$.

\begin{eqnarray}
N_1 i_1 + N_2 i_2 &=& 0 \\
N_1 i_1 &=& - N_2 i_2 \\
\label{rel_corr_transf} \frac{i_1}{i_2} &=& - \frac{N_2}{N_1}
\end{eqnarray}

Se denomina {\bf relación de transformación} al coeficiente
$N=\frac{N_1}{N_2}$.

\subsubsection{Ejemplo}

Un circuito básico utilizando un transformador ideal puede verse en la
Figura \ref{transformador}. En este caso se toma que el coeficiente de
acoplamiento es $k=1$, y la permeabilidad magnética del medio es
$\mu \rigtharrow \infty$.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/transformador.tex}
\caption{\label{transformador} Circuito de un transformador ideal}
\end{figure}

Del circuito, es evidente que la corriente $i_2$ está dada por
$i_2 = - \frac{V_2}{R}$.
Utilizando las relaciones de tensiones y de corrientes, dadas por
las ecuaciones (\ref{rel_tens_transf}) y (\ref{rel_corr_transf})
respectivamente, se puede obtener la relación entre la tensión y
la corriente a la salida del circuito.

\begin{eqnarray}
V_1 &=& V_2 \frac{N_1}{N_2} \\
i_1 &=& -i_2 \frac{N_2}{N_1} = \frac{V_2}{R} \frac{N_2}{N_1} \\
\frac{V_1}{i_1} &=& R \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2
\end{eqnarray}

En este caso, se puede apreciar que utilizando un transformador ideal puede
variarse el valor de una resistencia determinada.

\subsubsection{Modelo de transformador ideal}

Un transformador ideal no tiene solamente dos inductores, sino que cuenta
con varios juegos de bobinados, además de las resistencias internas que
corresponden a esos inductores.

\begin{figure}[htb]
\centering
\input{circuitos/transformador_real.tex}
\caption{\label{transformador_real} Modelo del circuito de un transformador
real}
\end{figure}
